95

6. Переходные процессы в линейных электрических цепях

6.1. Общие сведения о переходных процессах

В

а б

Рис. 6.1. Варианты ключей, используемых для коммутаций в электрических цепях

установившемся режиме работы электрических цепей напряжения и токи либо не изменяются во времени (цепи постоянного тока), либо являются периодическими функциями времени (цепи переменного тока). Процессы, протекающие в электрических цепях при переходе из одного установившегося режима в другой, называются переходными. Переход от одного режима работы к другому может быть вызван изменением параметров цепи (подключением или отключением элементов электрической цепи) и называется коммутацией. В электротехнике коммутации осуществляются с помощью идеализированных ключей, переключение которых происходит мгновенно, сопротивление в положении “включено” равно нулю, а в положении “выключено” бесконечно. Для коммутации могут также использоваться двунаправленные ключи (рис. 6.1, б). Для удобства полагают, что коммутации в электрических цепях происходят в момент времени t=0.

В электрических цепях с активными нагрузками переходные процессы протекают мгновенно из-за отсутствия накопителей энергии. При наличии в электрической цепи реактивных элементов – индуктивностей или емкостей или одновременно и индуктивностей и емкостей – переходные процессы протекают в течение некоторого интервала времени, так как переход в новое состояние связан с изменением энергии индуктивностей и емкостей , а в соответствии с законом о непрерывности изменения энергии не могут происходить скачкообразно. Теоретически переходные процессы протекают бесконечное время, практически их длительность ограничивают интервалом, в течение которого токи и напряжения в электрической цепи достигают некоторого уровня от установившегося значения. В зависимости от назначения электрической цепи переходные процессы могут быть нежелательными (в системах электроснабжения) или естественными, нормальными режимами (в системах радиоэлектроники). Задачи анализа переходных процессов заключаются в нахождении функций, описывающих изменения токов и напряжений во всех или некоторых ветвях электрической цепи, возникающих после коммутации (при ). Существует несколько методов расчета переходных процессов в линейных электрических цепях. Наиболее фундаментальным и наглядным является классический метод, заключающийся в составлении и решении дифференциальных уравнений.

6.2. Законы коммутации и начальные условия

Известно, что реактивные элементы L и С способны запасать и отдавать энергию. При протекании через L тока i в магнитном поле индуктивности запасается энергия

, (6.1)

а энергия электрического поля, заряженного до напряжения и конденсатора, составляет

. (6.2)

Из принципа непрерывности изменения энергии вытекает непрерывность изменения во времени потокосцепления индуктивности и электрического заряда емкости, на которой основаны законы коммутации.

Первый закон коммутации: ток через индуктивность до коммутации равен току после коммутации и затем плавно изменяется.

Второй закон коммутации: напряжение на емкости до коммутации равно напряжению после коммутации и затем плавно изменяется.

Напряжение на индуктивности U_L и ток через конденсатор i_C могут изменяться скачкообразно, так как с ними непосредственно не связана энергия магнитного поля индуктивности и энергия электрического поля конденсатора.

До начала коммутации при электрическая цепь находилась в установившемся режиме, который характеризуется начальными условиями – значениями токов и напряжений реактивных элементов. Значение тока через индуктивность и напряжение на емкости до коммутации образуют независимые начальные условия, которые используются при решении задач расчета переходных процессов. Начальные условия могут быть нулевыми, когда

,

или не нулевыми в случаях

а) ;

б) ;

в) .

При нулевых начальных условиях в момент коммутации индуктивность можно рассматривать как разрыв, а емкость как короткое замыкание. В случае не нулевых начальных условий индуктивность представляет собой источник тока , а емкость – источник ЭДС. . Значения и определяются в установившемся режиме с использованием законов Ома и Кирхгофа. При этом в случае электрических цепей постоянного тока индуктивность заменяется короткозамкнутым участком, а емкость – разрывом, а для нахождения начальных условий в электрических цепях синусоидального тока применяется символический метод расчета.