Задание

Дорисуйте рисунок 1, чтобы получилась функция, рисунок 2 – не функция.

Задание

Составьте заголовки следующим разделам текста.

Заголовок: __________________________________________

Функция может быть задана описанием, задающим правило сопоставления, либо формулой, либо перечислением всех ее значений (например, в таблице, или перечнем пар), либо графически.

Заголовок: _________________________________________________

Правило, задающее функцию, часто обозначают буквами f, g, h, ….

Если f – функция, то множество Х, на элементы которого распространяется действие правила (функции) f, называют областью определения функции f и обозначают через D(f). Здесь D – первая буква английского слова «domain» – область.

Число, получаемое в результате действия функции f на элемент х  Х, называют значением функции на элементе х (от аргумента х) и обозначают символом f (х).

Множество, состоящее из всех чисел f (х), где х берутся из области определения D(х), называют множеством значений функции f и обозначают через Е(f). Здесь Е – первая буква французского слова «ensemble» (читается ансамбль, что значит – множество).

Т от факт, что у – значение функции f на элементе х, выражают равенством у = f (х). Этот факт иногда удобно записывать так: f: х  f (х), такая запись показывает, что элемент х правилом f переводится в элемент f (х).

Организация записей как компетенция

Обобщайте назначение того или иного раздела текста в заголовках.

2. Способы получения новых функций.

Способ 1: получение новых функций с помощью арифметических операций.

Определение. Суммой, произведением, частным функций f и g и произведением функции f на число называют функции, заданные соответственно правилами:

(f + g) (х) = f (х) + g (х),

(f ∙ g) (х) = f (х) ∙g (х),

,

( ∙ g) (х) =  ∙g (х).

Задание

Составьте новую функцию на основе функций f(x) = kx; g(x) = x².

Элемент математической культуры как компетенция

ЭМК О подборе примеров для понимания

Для обеспечения понимания математического текста желательно подбирать примеры, иллюстрирующие анализируемый текст.

Способ 2: получение новых функций через последовательное выполнение нескольких функций.

Определение. Пусть функция f определена на множестве Х и действует в множество У, а функция g определена на множестве У и действует в некоторое множество Z. Тогда, взяв такой элемент х  Х, что f (х) попадает в область определения функции g, можно подействовать на f (х) функцией g. Получается новое правило h, действующее на те элементы из Х, для которых f (х)  D(g), следующим образом: h (х) = g(f (х)).

Функцию h называют сложной функцией, составленной из f и g, или композицией функций f и g, или суперпозицией функций f и g.

Из определения композиции h функций f и g ясно, что D(h) = х  Х: f (х)  D(g).

Задание

Составьте новую функцию на основе функций f(x) = kx; g(x) = x².

Способ 3: получение новых функций через восстановление «истории» значений функции.

Не всегда, зная значение функции, можно определить, из какого значения аргумента было оно получено, так как одно и то же значение функции могло быть получено при разных значениях аргумента.

Восстановление «истории» значений функции бывает необходимо, его обеспечивает свойство функции, которое называют обратимостью.

Определение. Функцию v = f (u) называют обратимой или взаимно однозначной на множестве Х  D(f), если для любых и₁, и₂ из Х таких, что и₁ и₂ , будет f (u₁)  f (u₂), иначе говоря, если для любых двух различных элементов множества Х соответствующие значения функции различны.

Определение. Пусть v = f (u) – обратимая на множестве Х функция, и пусть У – множество всех элементов v = f (u), где и  Х . Каждому элементу v  У сопоставим элемент и У такой, что v = f (u). Указанное однозначное правило определяет функцию, которую называют функцией, обратной к функции f , и обозначают символом f ^-1.