5. Схема дослідження функції і побудови її графіка

Науково обґрунтовано дослідження функції та побудова її графіка здійснюється за такою схемою:

Перший етап (використовується вид заданої функції)

1. Знаходимо область визначення функції, точки розриву та однобічні границі функції в цих точках, інтервали неперервності.

2. Знаходимо точки перетину графіка функції з осями координат та значення функції на кінцях відрізку, якщо область визначення функції є замкнений відрізок.

3. Досліджуємо функцію на парність, непарність, періодичність.

4. Знаходимо асимптоти графіка функції.

Другий етап (використовується похідна першого порядку)

5. Знаходимо критичні точки першого роду, інтервали зростання та спадання, точки екстремумів та екстремальні значення функції.

Третій етап (використовується похідна другого порядку)

6. Знаходимо критичні точки другого роду, інтервали опуклості та угнутості графіка функції, точки перегину та значення функції в точках перегину.

Четвертий етап

7. Будуємо у системі координат точки та значення функції, асимптоти, які одержані в ході дослідження. Потім будуємо графік функції з урахуванням інтервалів неперервності, монотонності, опуклості та угнутості, періодичності, парності чи непарності.

П обудуємо графік функції .

1. Функція не існує в точках . Тому область визначення функції

2. Функція непарна, оскільки . З огляду на непарність функції достатньо побудувати її графік лише при .

Функція неперіодична.

3. Точки перетину з осями координат:

з віссю Ох:

(0; 0) — точка перетину з віссю Ох.

з віссю Оу:

(0; 0) — точка перетину з віссю Оу.

4. Функція невизначена в точці тому ці точки є «підозрілими» на розрив. Знайдемо односторонні границі в точці :

Точки — точки розриву другого роду.

— область неперервності функції.

5. Знаходимо асимптоти функції. Насамперед з’ясовуємо, що прямі — вертикальні асимптоти. (Це випливає з означення вертикальних асимптот та п. 4.)

Шукаємо похилу асимптоту

;

.

Отже, — похила асимптота.

6. В п. 4 знайдені односторонні границі функції в точках . Залишилось знайти границі функції, коли і

7. Знайдемо першу похідну від функції у (вона існує на D (x)):

8. Дослідимо функцію на монотонність і знайдемо точки екстремуму. Для знаходження стаціонарних точок прирівнюємо першу похідну до нуля:

Зважаючи на зауваження п. 2, розглядатимемо дослідження функції при

, коли ,

, коли

Тому — точка максимуму, — точка мінімуму.

9. Знайдемо другу похідну функції у:

Точка х = 0 може бути точкою перегину, бо Перевіримо це за критерієм. Визначимо знак в околі точки х = 0

Друга похідна змінює в точці х = 0 свій знак, тому функція має точку перегину х = 0, на проміжку (0; 1) функція опукла, (1, +∞) — функція вгнута.

10. Найбільше та найменше значення функції не існують.

11. Побудуємо графік функції, враховуючи дослідження.

ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА

1. Барковський В.В., Барковська Н.Б., Математика для економістів, НАУ, К., ч.І., 1997, 397с.; 1999, 400с.; 2002, 401с.

Стор. 191-204

2. Кривуца В.Г., Барковський В.В., Барковська Н.В., Вища математика. Практикум., К., ЦУЛ, 2003, 536 с.

Стор.220-232