2.Найбільше та найменше значення функції на відрізку

Функція, неперервна на відрізку а, в, досягає на цьому відрізку найбільшого та найменшого значень. Ці значення функція може досягнути всередині відрізку або на одному з кінців відрізку.

Для знаходження найбільшого та найменшого значень функції на відрізку а, в, які позначають:

та , відповідно, треба:

1. знайти усі критичні точки першого роду функції ;

2. знайти значення функції в тих критичних точках, що належать відрізку а, в, а також значення функції на кінцях відрізку та ;

3. із одержаних значень функції обрати найбільше та найменше значення функції на відрізку.

Приклад:

3.Опуклість та угнутість графіка. Точки його перегину

Означення Крива називається опуклою на проміжку (а, в), якщо усі точки графіка функції лежать нижче її дотичних на цьому проміжку.

Крива називається угнутою на (а, в), якщо усі точки графіка функції лежать вище її дотичних на цьому інтервалі.

Означення. Якщо в досить малому околі точки дотику з абсцисою х₀ крива зліва та справа цієї точки лежить по різні боки дотичної, то точку х₀ називають точкою перегину графіка функції.

Функція, що зображена на рис. 1, опукла на інтервалі (а, в), вгнута на інтервалі (b, c), т. В – точка перегину.

Достатні умови опуклості

Нехай визначена і двічі диференційована в проміжку (а, в). Тоді якщо для , то графік функції в цьому проміжку опуклий, а якщо - угнутий.

Необхідна умова перегину

Нехай визначена в околі точки х₀ і двічі диференційовна в цій точці. Якщо х₀ є точкою перегину, то

Означення .Значення х, при яких не існує або дорівнює нулю, називають критичними точками другого роду функції .

Д ослідити криву на напрямок вгнутості.

● Функція визначена в інтервалі (– 1; + ). У цьому інтервалі

і в точках х₁ = 0 і .

Методом інтервалів знаходимо, що в інтервалі (–1; 0), в інтервалі і в інтервалі . За наслідком із теореми доходимо висновку, що в інтервалах (– 1; 0) і крива вгнута донизу, а в інтервалі вгнута вгору.

4. Асимптоти кривої

Означення Пряму лінію називають асимптотою кривої , якщо відстань точки М(х, у) кривої від цієї прямої прямує до нуля при віддаленні точки М в нескінченність.

Асимптоти можуть бути вертикальними, похилими та горизонтальними

Якщо в точці х = а функція має розрив другого роду, то х = а буде рівнянням вертикальної асимптоти.

На рис. 2 показано вертикальну (а), горизонтальну (б), і похилу асимптоту (в). З означення асимптоти випливає, що для існування вертикальної асимптоти необхідно і достатньо, щоб

Ф ункція має вертикальну асимптоту (рис. 5.46), оскільки точка — точка розриву другого роду: ; .

Рівняння похилої асимптоти функції шукають у вигляді:

(8)

де , (9)

Якщо не існує скінченого значення границі (9), то похилої асимптоти не існує. Якщо к = 0, то за формулою (10) одержимо

і пряма у = в буде горизонтальною асимптотою.

З найти асимптоти функції .

 У точці функція має розрив другого роду, тому — вертикальна асимптота. Знайдемо похилу асимптоту. За теоремою

, . , .

Отже, пряма є асимптотою функції при