1. Монотонність та екстремуми функції

Означення. Функцію називають зростаючою (спадною) в проміжку (а, в), якщо більшому значенню аргументу в цьому проміжку відповідає більше (менше) значення функції, тобто якщо із нерівності х₂  х₁ випливає нерівність , то функція - зростаюча, а якщо , то функція - спадна.

Функцію називають монотонною в проміжку (а, в), якщо вона в цьому проміжку зростаюча або спадна. Проміжки, в яких функція монотонна називають проміжками монотонності цієї функції.

Достатня ознака монотонності функції

Якщо похідна диференційовної функції додатна всередині деякого проміжку, то функція зростає в цьому проміжку. Якщо похідна диференційованої функції від’ємна всередині деякого проміжку, то функція спадає в цьому проміжку.

Для знаходження інтервалів монотонності заданої функції доцільно дотримуватись такого порядку дій:

1. знайти область визначення та похідну ;

2. знайти корені рівняння ;

3. поділити область визначення функції знайденими коренями рівняння на інтервали знакової постійності ;

4. визначити знак похідної в кожному інтервалі і зробити висновок, в якому інтервалі функція зростає, а в якому спадає.

З найти інтервали зростання і спадання функції

.

● Маємо

,

звідки

Похідна f (x) неперервна для х(– ; + ) і перетворюється на нуль лише в точках х = 0, х = 1, х =3, тому вона в інтервалах (– ; 0), (0; 1), (1; 3) і (3; + ) зберігає знак. Оскільки f(– 1) > 0, , f (2) < 0, f (5) > 0, f (х) > 0, якщо х(– ; 0), f (х) > 0, х(0; 1), f (х) < 0, х(1; 3), f (х) > 0, х(3; + ).

Тому функція f(x) зростає на інтервалах (– ; 0); (0; 1); (3; + ) і спадає на інтервалі (1; 3).

Означення. Функція має при х=х₀ максимум (мінімум), якщо існує такий окіл точки х₀, для усіх точок х якого виконується нерівність: для максимуму,

для мінімуму.

Екстремум функції - це узагальнений термін понять максимуму та мінімуму. Значення аргументу х = х₀, при якому функція має екстремум (максимум або мінімум) називають точкою екстремуму функції (максимуму або мінімуму, відповідно).

Означення. Критичними точками першого роду функції називають точки, в яких не існує або дорівнює нулю.

Рівність називають необхідною умовою існування екстремуму функції . Щоб визначити, в яких з критичних точок функція має екстремум і який саме, використовують достатні умови існування екстремуму.

Достатні умови існування екстремуму функції

Якщо функція диференційовна в околі критичної точки першого роду х = х₀ і її похідна :

1. при х  х₀ - додатна, а при х  х₀ - від’ємна, то в точці х₀ функція має максимум;

2. при х  х₀ - від’ємна, а при х  х₀ - додатна, то в точці х₀ функція має мінімум;

3. зліва та справа від точки х₀ має однаковий знак, то в точці х₀ функція не має екстремуму.

Порядок дій при дослідженні функції на екстремум:

1. знаходять похідну заданої функції;

2. знаходять критичні точки першого роду (значення х, при яких не існує або дорівнює нулю);

3. визначають знак зліва та справа в околі кожної критичної точки;

4. роблять висновок, чи має функція екстремум і який саме у знайдених критичних точках;

5. обчислюють екстремальні значення функції в точках екстремуму.

Дослідження функції на екстремум доцільно виконувати з використанням таблиці по аналогії з наведеним нижче прикладом.

З найти екстремуми функції

у = 2х³ – 9х² + 12х + 5.

Розв’язання. Знаходимо похідну: = 6х² – 18х + 12 = 6(х – 1) (х – 2)

Знаходимо критичні точки першого роду: із рівності

6(х – 1)(х – 2) = 0 х₁ = 1, х₂ = 2.

Інших точок не має, тому що визначена при всіх .

Критичні точки х₁ та х₂ поділяють область визначення функції на інтервали постійного знаку похідної (критичні точки та відповідні інтервали записуємо у перший рядок таблиці 1).

Визначаємо знак в кожному інтервалі (записуємо ці знаки у другий рядок таблиці 1).

Згідно з достатніми умовами існування екстремуму функції робимо висновок відносно кожної критичної точки (характер поведінки функції вказуємо у третьому рядку таблиці 1).

x		1	(1, 2)	2
	+	0	—	0	+
		max		min

Обчислимо максимальне та мінімальне значення функції:

;

.