Картографічні проекції
Картографічна проекція – це математично визначене зображення поверхні еліпсоїда на площину карти.
Проекція встановлює однозначну відповідність між геодезичними координатами точок (широтою В та довготою L) та їх прямокутними координатами (X та Y) на карті. Рівняння проекцій у загальному вигляді досить прості:
Реалізація функцій (f1+f2) часто виражені досить складними математичними залежностями, їх число нескінченне, а відповідно, різноманітність картографічних проекцій практично необмежена.
Теорія картографічних проекцій є основним змістом математичної картографії – де розробляються методи вишукування нових проекцій, створюють прийоми та алгоритми аналізу проекцій, визначення розподілу і величини створень.
Загальновідомо, що сферичну поверхню земної кулі (еліпсоїда) неможливо зобразити (розвернути) на площині карти без спотворення.
Неминуче виникають деформації – перекриття та розтягнення, різноманітні за величиною та напрямом. Саме тому на карті виникає непостійність масштабів довжин та площ.
В картографічних проекціях можуть бути наявні такі види спотворень:
- спотворення довжини – внаслідок цього масштаб карти неоднаковий в різних точках та за різними напрямами, а довжина ліній та відстані спотворені;
- спотворення площ – масштаб площ в різних точках карти, різниться, що є прямим наслідком спотворень довжин і порушує розміри об’єктів;
- спотворення кутів – кути між напрямами на карті спотворені відносно таких же кутів на місцевості;
- спотворення форм – фігури на карті деформовані і не відповідають фігурам на місцевості, що на пряму пов’язано зі спотворенням кутів.
Розглядаючи еліпс спотворень, розміри якого і форма відображають спотворення довжин, площ та кутів, а орієнтування великої осі відносно меридіана і паралелі – напрям найбільшого розтягнення. Велика вісь еліпса характеризує найбільше розтягнення в даній точці, а мала вісь – найбільше стиснення, відтинки вздовж меридіана та паралелі власне характеризують частковий масштаб по меридіану m та паралелі n. (мал.)
Визначивши значення m та n, а також виміряти кут l, під яким перетинаються на карті меридіан та паралель, можна потім розрахувати значення найбільшого a і найменшого b часткових масштабів довжин, частковий масштаб площ ρ в даній точці, а також значення спотворень кутів W за формулами:
Якщо головні осі еліпса зорієнтовані по меридіану і паралелі, то a=m і b=n або a=n і b=m,
Значення m, n, a, b і ρ вимірюють у відсотках або в частках від основного (головного) масштабу. Наприклад, якщо n=1,12, то це вказує на те, що частковий масштаб за напрямом великої вісі еліпса спотворень складає 1,12 (або 112%) від головного масштабу.
В проекціях існують лінії та точки, де спотворення відсутні і зберігається основний масштаб карти – це лінії і точки нульових спотворень. Для найбільш вживаних проекцій існують спеціальні допоміжні карти на яких подані ці лінії та точки, а окрім цього проведені ізоколи - лінії однакових спотворень довжин, площ, кутів та форм.