Раздел 3. Содержание дисциплины.

№ п/п	Раздел дисциплины	Лекции, ч.	Семи­на­ры, ч.	Лабора­торные работы, ч.	Литература
	7 семестр
3.1.	Алгебраические структуры	2	0	0	[1], [2], [4]
3.2.	Арифметика целых чисел Z	2	0	0	[4], [6]
3.3.	Кольцо вычетов Zm	2	1	0	[2], [4], [6]
3.4.	Полугруппы и моноиды	2	1	0	[1], [9], [11]
3.5.	Основные понятия и определения теории групп	2	2	0	[2], [3], [4]
3.6.	Смежные классы	4	1	0	[2], [3], [4]
3.7.	Циклические группы	2	1	0	[2], [3], [4]
3.8.	Сопряженные элементы и классы	2	1	0	[2], [3], [4]
3.9.	Гомоморфизмы групп	2	1	0	[2], [3], [4]
3.10.	Группы подстановок	4	1	0	[8],[10],[13]
3.11.	Элементы теории колец	2	1	0	[1], [2], [3]
3.12.	Гомоморфизмы колец	3	0	0	[3], [7], [9]
3.13.	Основы теории конечных полей	2	0	0	[3], [6], [7]
3.14.	Многочлены над кольцами и полями	4	2	0	[3], [6], [7]
3.15.	Расширения полей	6	1	0	[3], [6], [7]
3.16.	Строение конечных полей	10	4	0	[3], [6], [7]

Содержание:

3.1. Алгебраические структуры

3.1.1. Понятие алгебраической операции на заданном множестве

3.1.2. Бинарные операции. Свойства бинарных алгебраических операций

3.1.3. Связь бинарной операции с отображением множеств – понятие изоморфизма и гомоморфизма

3.2. Арифметика целых чисел Z

3.2.1. Делимость целых чисел, НОД и НОК

3.2.2. Теоремы Евклида для целых чисел. Свойства НОД и остатков

3.2.3. Алгоритм Евклида. Теорема Евклида о НОД для целых чисел

3.3. Кольцо вычетов Z_m

3.3.1. Сравнимость целых чисел по фиксированному модулю

3.3.2. Определение кольца вычетов Z_m и задание в Z_m операций сложения и умножения. Свойства операций в Z_m

3.3.3. Обратимость элементов в Z_m

3.4. Полугруппы и моноиды

3.4.1. Порождающие элементы

3.4.2. Циклические моноиды и полугруппы

3.5. Основные понятия и определения теории групп

3.5.1. Группа, подгруппа, порядок группы, порядок элемента

3.5.2. Аддитивная и мультипликативная формы записи

3.5.3. Порождающие элементы группы

3.5.4. Соотношение между группами и подгруппами и некоторые их свойства

3.5.5. Теорема Кэли об изоморфной вложимости конечной группы в симметрическую группу S_n

3.6. Смежные классы

3.6.1. Понятие правого (левого) смежного класса группы по подгруппе

3.6.2. Свойства смежных классов

3.6.3. Разбиение группы на смежные классы. Индекс подгруппы в группе

3.6.4. Теорема Лагранжа и следствия из нее

3.7. Циклические группы

3.7.1. Свойства подгрупп и отдельных элементов циклической группы

3.7.2. Образующие элементы. Число образующих элементов и их связь с функцией Эйлера

3.8. Сопряженные элементы и классы

3.8.1. Трансформирование одного элемента группы другим. Свойства сопряженных элементов и сопряженных множеств

3.8.2. Нормальная (инвариантная) подгруппа

3.8.3. Нормализатор множества и нормализатор элемента

3.8.4. Централизатор множества и централизатор элемента. Центр группы

3.8.5. Теорема о числе множеств, сопряженных с данным

3.9. Гомоморфизмы групп

3.9.1. Oбраз, прообраз, ядро отображения

3.9.2. Понятие факторгруппы по нормальному делителю

3.9.3. Теоремы о гомоморфизмах

3.10. Группы подстановок

3.10.1. Взаимнооднозначное отображение конечного множества в себя. Задание подстановок, подстановочные матрицы

3.10.2. Транспозиция, инверсия, четные и нечетные подстановки

3.10.3. Знакопеременная группа A_n

3.10.4. Разложение подстановки на циклы, свойства циклового представления подстановок

3.11. Элементы теории колец

3.11.1. Определения и общие свойства колец

3.11.2. Области целостности и поля

3.11.3. Подкольца. Центр кольца

3.11.4. Характеристика кольца

3.12. Гомоморфизмы колец

3.12.1. Образ и ядро гомоморфизма кольца

3.12.2. Понятие идеала. Факторкольцо

3.12.3. Главные идеалы. Простые и максимальные идеалы

3.12.4. Теоремы о гомоморфизмах

3.13. Основы теории конечных полей

3.13.1. Определение и общие свойства колец и полей. Примеры колец, являющихся полями

3.13.2. Простые поля

3.14. Многочлены над кольцами и полями

3.14.1. Кольцо многочленов, степень многочлена, нормированные многочлены

3.14.2. Понятие делимости многочленов, НОД, НОК, алгоритм Евклида. Неприводимые многочлены

3.14.3. Теорема об однозначном разложении многочлена на множители

3.14.4. Корни многочлена

3.15. Расширения полей

3.15.1. Простое поле и подполе. Простое расширение поля

3.15.2. Алгебраические элементы поля. Алгебраическое расширение поля

3.15.3. Конечное расширение как векторное пространство, его базис

3.16. Строение конечных полей

3.16.1. Мультипликативная группа конечного поля

3.16.2. Теорема о единственности конечного поля данного порядка

3.16.3. Примитивный элемент

3.16.4. Минимальный многочлен элемента, примитивный многочлен

3.16.5. Корни неприводимых многочленов

3.16.6. Представления элементов конечного поля

Раздел 4. Семинары.

№ п/п	Тема семинара	Объем, ч.	Литература
	7 семестр
4.1.	Арифметика в кольце целых чисел Z и кольце вычетов Zm	1	[2], [5], [12]
4.2.	Полугруппы и моноиды	1	[11]
4.3.	Основные понятия и определения теории групп	2	[5], [11], [12]
4.4.	Смежные классы	1	[5], [11], [12]
4.5.	Циклические группы	1	[5], [11], [12]
4.6.	Сопряженные элементы и классы	1	[5], [11], [12]
4.7.	Гомоморфизмы групп	1	[5], [11], [12]
4.8.	Группы подстановок	1	[5], [11], [12]
4.9.	Элементы теории колец	1	[5], [11], [12]
4.10.	Многочлены над кольцами и полями	2	[3], [12]
4.11.	Расширения полей	1	[3], [12]
4.12.	Строение конечных полей	4	[3], [12]