- •Алгебраические системы
- •Раздел 1. Цели и задачи дисциплины. Цель дисциплины:
- •Задачами дисциплины является изучение:
- •Раздел 2. Знания, умения и навыки, получаемые после освоения дисциплины.
- •2.1. Студент должен знать:
- •2.2. Студент должен уметь:
- •2.3. Студент должен иметь навыки:
- •Раздел 3. Содержание дисциплины.
- •Содержание:
- •4.1. Арифметика в кольце целых чисел z и кольце вычетов Zm
- •4.2. Полугруппы и моноиды
- •4.3. Основные понятия и определения теории групп
- •4.4. Смежные классы
- •4.5. Циклические группы
- •4.6. Сопряженные элементы и классы
- •Раздел 5. Лабораторные работы.
- •Раздел 6. Самостоятельная работа.
- •Раздел 7. Курсовой проект, курсовая работа.
- •Раздел 8. Учебно-методические материалы.
- •8.1. Основная литература.
- •8.2. Дополнительная литература.
- •8.3. Наглядные материалы и пособия.
Раздел 2. Знания, умения и навыки, получаемые после освоения дисциплины.
2.1. Студент должен знать:
-
►
определения и свойства основных алгебраических структур
►
алгоритм Евклида, расширенный алгоритм Евклида
►
понятия группы, подгруппы, порядка группы, порядка элемента
►
теорему Кэли об изоморфной вложимости конечной группы в симметрическую группу
►
понятие смежного класса группы по подгруппе, свойства смежных классов
►
теорему Лагранжа и следствия из нее
►
свойства подгрупп и отдельных элементов циклической группы
►
понятие нормальной (инвариантной) подгруппы
►
понятия образа, прообраза, ядра отображения
►
понятие факторгруппы по нормальному делителю
►
теоремы о гомоморфизмах
►
свойства групп подстановок
►
понятие делимости многочленов, НОД, НОК, алгоритм Евклида, понятие неприводимого многочлена
►
понятия подполя и простого поля, простого расширения поля, алгебраического элемента поля, алгебраического расширение поля
►
теорему о единственности конечного поля данного порядка
►
понятие примитивного элемента конечного поля
2.2. Студент должен уметь:
-
►
получать разбиение группы на смежные классы по подгруппе и находить индекс подгруппы в группе
►
находить образующие элементы циклической группы
►
находить нормализатор множества и нормализатор элемента в группе
►
находить централизатор множества и централизатор элемента в группе
►
получать представление подстановок в виде подстановочных матриц
►
находить примитивный элемент конечного поля
►
находить неприводимые и примитивные многочлены заданной степени, определять их число
Понятия: алгебраическая система и подсистема, гомоморфизм алгебраических систем, группа, кольцо, поле, простое поле, простое расширение поля, алгебраический элемент поля, алгебраическое расширение поля.
2.3. Студент должен иметь навыки:
-
►
выполнения арифметических операций в кольцах вычетов и конечных полях
►
разложения подстановки на независимые циклы
►
разложения многочлена на неприводимые сомножители
►
представления элементов конечного поля
►
нахождения минимального многочлена элемента конечного поля