Основные формулы по теории вероятностей (часть 1)

Элементы комбинаторики

Число размещений без повторений (выборка отличается одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения)

, 0!=1, 1!=1, 2!=2, 3!=6, 4!=24, 5!=120, 6!=720

Число сочетаний без повторений (одно размещение отличается от другого хотя бы одним элементом (только составом))

,

,

Число перестановок без повторений (одно размещение отличается от другого только порядком расположения элементов)

Число размещений с повторениями

Число сочетаний с повторениями

Число перестановок с повторениями

, где

Вероятность события , противоположного событию



Классическая вероятность

- число исходов, благоприятствующих событию, - число всевозможных исходов

Геометрическая вероятность

Вероятность суммы

а) для произвольных событий

;

б) для несовместных событий

Вероятность произведения

а) для произвольных событий A и B:

б) если события A и В независимы:

Формула полной вероятности

Формулы Бейеса

Формула Бернулли

,

Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях

np-q ≤ k₀ ≤ np+p

1)если число np+p - дробное, то имеем одно наивероятнейшее число k₀=[np+p],

2)если np+p-целое, то имеем два наивероятнейших числа: k₀ = np-q и k₀= np+p

Формула Пуассона

(редких событий)

(обычно при n≥5, a=np≤10)

Вероятность появления m событий простейшего потока за время t

Локальная теорема Муавра-Лапласа

, где

(когда число испытаний n велико, а вероятность p наступления события не близка к 0 (обычно npq10))

Функция Лапласа

Нормированная

функция Лапласа

Свойства нормированной функции Лапласа:

1)Нечётность ;

2)Монотонно возрастающая Ф₀ (х);

3) Ф₀ (0)=0 .

На практике: если х5, полагаем что Ф₀(х)1/2

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

, где

(обычно npq20)

Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в n независимых испытаниях

Дискретная с.в. X

Абсолютно-непрерывная с.в. X

1. Задан закон распределения

p_i≥0 и p₁+p₂+…+p_k=1

1. Задана плотность распределения p(x) (или f(x)):

2. Функция распределения (интегральный закон распределения): F(x)=P(X < x)

3. Свойства функции распределения F(x):

а) 0≤ F(x)≤1;

б) F(x) – монотонно возрастающая;

в) ;

г) F(x) – непрерывна слева

4)

4) ,

5) ;

6) ; ;

; ;

6)

Числовые характеристики

Математическое ожидание (среднее значение) M(X):

7) ;

7) ;

8) Свойства M(X):

1. M(C)=C (C-const);

2. M(CX)=CM(X) (C-const);

3. M(X±Y)=M(X)±M(Y);

4. M(X·Y)=M(X)·M(Y), если X, Y – независимые с.в.

5. X≥YM(X)≥M(Y)

9) Дисперсия: D(X)=M[(X-M(X))²]; D(X)=M(X²)-(M(X))²

10)

10)

11) Свойства D(X):

1. D(X)≥0

2. D(C)=0 (C-const);

3. D(CX)=C²D(X) (C-const);

4. D(X±Y)=D(X)+D(Y) , если X, Y – независимые с.в.;

12) среднее квадратическое отклонение

13) Начальный момент s-го порядка с.в.X: m_s(X)=M(X^s)

14) Центральный момент порядка s с.в.X: _s(X)=M[(X-M(X))^s]

а) ₂(X)=m₂(X)-m₁²(X)

б) ₃(X)=m₃(X)-3m₁(X)m₂(X)+2m₁³(X)

в) ₄(X)=m₄(X)-4m₁(X)m₃(X)+6m₁²(X)m₂(X)-3m₁⁴(X)

15) Коэффициент асимметрии с.в.X:

16) Коэффициент эксцесса с.в X:

17) Ковариация с.в. ₁ и ₂ : cov(₁ , ₂)=M[(₁ -M₁)·(₂ -M₂)]; cov(₁ , ₂)=M(₁·₂)-M₁ ·M₂;

18) Коэффициент корреляции с.в. ₁ и ₂ :