§2. Поверхности 2-го порядка.

Рассмотрим поверхности, которые в некоторой подходящей прямоугольной декартовой системе координат определяются уравнениями вида:

;	(2.1)	;	(2.2)
;	(2.3)	;	(2.4)
;	(2.5)	;	(2.6)
;	(2.7)	;	(2.8)
.	(2.9)

Рис. 2.1. Эллипсоид

Эти поверхности называются невырожденными поверхностями 2-го порядка (или поверхностями 2-го порядка) в связи с тем, что они определяются уравнениями 2-ой степени относительно координат. Заметим, что уравнение 2-ой степени может задавать и другие поверхности (см., например, [1]).

Поверхность, задаваемая уравнением (2.1), называется эллипсоидом (рис. 2.1),

уравнением (2.2) – однополостным гиперболоидом (рис. 2.2), уравнением (2.3) – двухполостным гиперболоидом (рис. 2.3), уравнением (2.4) – конусом 2-го порядка (рис. 2.4), уравнением (2.5) – эллиптическим параболоидом (рис. 2.5), уравнением (2.6) – гиперболическим параболоидом (рис. 2.6). Уравнения (2.7) – (2.9) задают в пространстве цилиндры, называемые эллиптическим, гиперболическим и параболическим цилиндрами (рис. 2.7 – 2.9).

Рис. 2.2. Однополостный гиперболоид		Рис. 2.3. Двуполостный гиперболоид		Рис. 2.4. Конус 2-го порядка
Рис. 2.5. Эллиптический параболоид			Рис. 2.6. Гиперболический параболоид
Рис. 2.7. Эллиптический цилиндр	Рис. 2.8. Гиперболический цилиндр				Рис. 2.9. Параболический цилиндр

Форма и некоторые свойства поверхностей, изображённых на рисунках

(2.1) – (2.9), вытекающие из их уравнений, изучаются с помощью метода параллельных сечений. При этом рассматривают сечения данной поверхности координатными плоскостями или плоскостями, параллельными им. Например, в сечении плоскостью однополостного гиперболоида, определяемого уравнением (2.2), получаем так называемый горловой эллипс с полуосями a и b (рис. 2.2), а в сечении координатными плоскостями и – гиперболы и (рис. 2.2). Аналогичным образом может быть изучена форма и других поверхностей 2-го порядка (см. Математика, опорный конспект, выпуск 1).

Пример 2.1. Установить тип поверхности, заданной уравнением и изобразить её на рисунке.

►Сравнив данное уравнение с каждым с уравнений (2.1) – (2.9), заключаем, что данное уравнение получается из уравнения (2.2) при Следовательно, оно определяет однополостный гиперболоид. В сечении плоскостью однополостного гиперболоида, определяемого уравнением (2.2), получаем горловой эллипс с полуосями и , а в сечении координатными плоскостями и – гиперболы и . Построив линии Г₁, Г₂, Г₃ в соответствующих координатных плоскостях, получаем изображение данной поверхности (рис. 2.2).◄

Пример 2.2. Изобразить тело, ограниченное плоскостями x +  y = 2, x = 0, y = 0, z = 0, и цилиндром .

Рис. 2.10. К примеру 2.2

►На плоскости Оху уравнение x +y = 2 определяет прямую, а в пространстве оно задаёт плоскость, проходящую через эту прямую параллельно оси Oz (рис. 2.10). На плоскости Оуz уравнение определяет параболу, а в пространстве оно задаёт цилиндр, для которого эта парабола является направляющей, а его образующие параллельны оси Ох (рис. 2.10). Рассматриваемый цилиндр пересекается с плоскостью x +y = 2 по некоторой кривой, схематично изображённой на рис. 2.10. Остальные три грани данного тела расположены в координатных плоскостях. ◄

Пример 2.3. Изобразить тело, ограниченное сферой и круговым параболоидом и находящееся внутри параболоида.

►В уравнении сферы выделим полный квадрат из членов, содержащих у, получим: или . Таким образом, заключаем, что центр сферы находится на оси Оу в точке (0, 2), а радиус её равен 2 (рис. 2.11). Линией пересечения параболоида с плоскостью Oyz служит парабола, расположенная в этой плоскости и определяемая уравнением: (рис. 2.11). Сечениями этой поверхности плоскостью, перпендикулярной оси Oy, являются окр

Рис. 2.11. К примеру 2.2

ужно-сти. Линия пересечения заданных поверхностей определяется системой уравнений: или Первое уравнение этой системы имеет корни . Таким образом, линия пересечения данных поверхностей находится в плоскостях и , причём первая из них содержит только одну общую точку данных поверхностей (0, 4, 0) (рис. 2.11), а вторая – окружность, определяемая системой уравнений: Данное тело изображено на рис. 2.11.◄