Разложение функций в ряды Тейлора и Маклорена

Разложение заданной функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки распадается на два этапа

1. Сначала вычисляются значения функции f(x) и ее производных в точке и составляется ряд Тейлора для функции f(x). При этом предполагается, что функция f(x) бесконечное число раз дифференцируема.

2. Находится интервал, в котором составленный ряд Тейлора сходится к функции f(x), то есть устанавливается для каких значений х остаточный член ряда будет стремиться к нулю при . При этом можно воспользоваться следующей теоремой.

Теорема

Если в некотором интервале, окружающем точку , абсолютные величины всех производных функции f(x) ограничены одним и тем же числом, то функция в этом интервале разлагается в ряд Тейлора.

Доказательство

Нужно установить, что для всех точек интервала при .

По условию теоремы во всех точках интервала , где М – постоянная, не зависящая от n. Тогда в силу неравенства (***) . Но отношение при , то есть радиус сходимости . Следовательно, для всех точек х, рассматриваемого интервала, что и требовалось доказать.

Особенно часто используется разложение функции в ряд по степеням х. Полагая , получаем ряд . Такой ряд называется рядом Маклорена.

Разложение в ряды элементарных функций

1. Показательная функция

Разложим эту функцию в ряд Маклорена. Все производные функции равны и обращаются в 1 при х=0. По формуле Тейлора . Рассмотрим интервал [-N,N], где N – любое фиксированное число. Для всех значений х из этого интервала . Следовательно, все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом и по доказанной теореме . По предположению N – любое число, следовательно, функция разлагается в ряд Маклорена при всех значениях х, то есть на всей числовой оси.

Итак

В частности при х=1 находим ряд для числа е

2. Тригонометрические функции sinx и cosx

Разложим в ряд Маклорена функцию sinx. Для этого последовательно находим значения ее производных в точке х=0

и т.д.

Значения производных повторяются и образуют периодическую последовательность

0,1,0,-1,0,1,0,-1,...

Любая производная функции sinx (то есть следовательно ряд функции sinx сходится к ней на всей числовой оси.

Итак

Аналогично для функции cosx

3. Биноминальный ряд

Рассмотрим функцию , где m – любое число. Разложим функцию в ряд Маклорена.

…

поэтому . Следовательно, ряд запишется в виде:

Установим область сходимости ряда. Найдем предел абсолютной величины отношения последующего элемента к предыдущему

согласно признака Даламбера ряд сходится, если |x|<1 и расходится, если |x}>1.

Исследуем , ограничившись случаем, когда 0<x<1. В этом интервале для всех n>m-1 имеем и поэтому

Воспользуемся неравенством (***) . Правая часть неравенства есть абсолютная величина (n+1)-го члена степенного ряда, сходящегося при |x|<1. Следовательно, . Соответствующее доказательство для интервала

(-1,0) более сложное и оно не приводится.

Таким образом, биноминальный ряд представляет функцию в интервале (-1,1)

Если m – целое положительное число, то ряд справа содержит всего (m+1) слагаемых и превращается в форму бинома Ньютона. Заметим, что ряд сходится к функции во всем замкнутом интервале [-1,1].

Приведем биноминальные ряды, соответствующие значениям m=-1, m=1/2, m=-1/2.

(это геометрическая прогрессия)

Замечание

Разложение отдельных функций в ряды могут быть получены из уже известных разложений с помощью свойств степенных рядов.

4. Функции ln(1+x) и arctgx

Для разложения в ряд Маклорена функции f(x)=ln(1+x) воспользуемся формулой для суммы геометрической прогрессии

Применим теорему об интегрировании степенных рядов и проинтегрируем ряд в пределах от 0 до х. Поскольку , то интегрируя поэлементно ряд, получим .

Совершенно аналогично получается разложение функции arctg x в ряд Маклорена. Для этого, заменим в формуле для суммы элементов геометрической прогрессии x на . Получим . Проинтегрируем ряд в пределах от 0 до х. Считая, что |x|<1 получаем

Замечание

Разложения (1)-(6) могут быть использованы для разложения в ряды других функций. Примеры:

1. Разложим в ряд Маклорена гиперболические функции chx и shx

Для ряда (1) заменим на получим . Далее, по правилу сложения и вычитания рядов находим искомое разложение

2. Разложим в ряд Маклорена функцию

Возьмем разложение функции и вместо , подставим получим

3. Разложим в ряд Маклорена функцию

Воспользуемся разложением биноминального ряда, где m=-1/2 и, для заменим x на , получим

(*). Умножим обе части на

4. Разложим в ряд Маклорена функцию

Так как . То разложение arcsinx получается интегрированием ряда (*)

5. Разложим в ряд Маклорена функцию

Так как ряды для и sinx сходятся абсолютно, то, перемножая их по правилу, рассмотренному ранее получим искомое разложение

(первые коэффициенты, так как закон подметить трудно).