Свойства степенных рядов

Рассмотрим степенной ряд (*), имеющий радиус сходимости R (конечный или бесконечный).

Сумма ряда S(x) – есть функция, определенная внутри интервала сходимости, а также в том из концов интервала, где ряд сходится. Предварительно рассмотрим леммы.

Лемма 1

Степенной ряд правильно сходится в любом отрезке [-b,b], целиком лежащем в интервале сходимости (-R,R)

Доказательство

Выберем точку , так чтобы было

__________(____[______________]______)_______ X

-R -b b R

Она лежит в интервале сходимости и по теореме Абеля числовой ряд сходится. Для всех точек имеем , и следовательно . Последнее неравенство и означает, что ряд (*) правильно сходится в отрезке [-b,b].

Лемма 2

Степенной ряд, составленный из производных элементов ряда (*) имеет тот же радиус сходимости, что и данный ряд.

Доказательство

Ряд из производных имеет вид (**). Предположим, что предел отношения существует, и применим для отыскания радиусов сходимости признак Даламбера:

для (*)

Равенство пределов отношения последующего элемента к предыдущему для обоих рядов, показывает, что их радиусы сходимости равны.

Следует отметить, что на конце интервала сходимости ряд (**) может расходиться и тогда, когда ряд (*) сходится.

Например

Ряд

при ряд сходится.

Ряд производных

при х=1 – гармонический ряд, который расходится.

Если теперь составить ряд из производных ряда (**), то он опять будет иметь тот же радиус сходимости и т.д. Таким образом, все степенные ряды, получающиеся последовательным дифференцированием ряда (*) имеют один и тот же радиус сходимости и по лемме 1 правильно сходятся в любом интервале, целиком принадлежащем интервалу сходимости.

Свойство 1

Сумма степенного ряда есть функция, непрерывная в интервале сходимости ряда:

Заметим, что в том конце интервала, где степенной ряд сходится, его сумма S(x) остается односторонне непрерывной (изнутри интервала сходимости).

Замечание

Следует учитывать одно обстоятельство, которое может иногда привести к недоразумению.

Возьмем геометрическую прогрессию, сходящуюся при |x|<1

определена всюду, кроме точки х=1. Тем не менее, следует твердо помнить, что S(x) является суммой ряда только при |x|<1; При |x|>1 ряд расходится и о его сумме говорить нельзя.

Свойство 2

Степенной ряд можно поэлементно интегрировать в интервале сходимости

. Получившийся степенной ряд имеет тот же радиус сходимости, что и данный.

Свойство 3

Степенной ряд можно поэлементно дифференцировать в интервале сходимости

далее

и так далее.

Итак, степенной ряд в интервале его сходимости можно поэлементно дифференцировать любое число раз, при этом радиусы сходимости получающихся рядов остаются прежними.

Разложение функции в степенные ряды

Известно, что сумма степенного ряда в интервале сходимости этого ряда является непрерывной и бесконечное число раз дифференцируемой.

Обратный вопрос?

Когда можно утверждать, что заданная функция f(x) является суммой некоторого степенного ряда?

Из свойств степенных рядов следует, что эта функция должна быть бесконечное число раз дифференцируема (но это условие не достаточное).

Остается вопрос установить, какие функции и в каких интервалах можно представить в виде суммы степенных рядов.

В дальнейшем, если заданную функцию f(x) можно представить в виде суммы некоторого степенного ряда, то говорят, что функция f(x) разложена в степенной ряд.

Важность такого разложения очевидна, так как, получаем возможность приближенно заменить функцию суммой нескольких первых элементов степенного ряда, то есть многочленом. Вычисление значений многочленов – простейшие арифметические операции. Важно, что можно оценить точность получаемых приближенных значений.

Замена функции таким простым выражением, как многочлен, оказывается очень удобной в различных вопросах мат. анализа: при вычислении интегралов, решении дифференциальных уравнений и т.д.

Итак, предположим, что функция f(x) бесконечное число раз дифференцируема в окрестности некоторой точки . Допустим, что ее можно представить в виде суммы степенного ряда, сходящегося в каком-то интервале, содержащем точку .

, где - пока неопределенные коэффициенты. Покажем, как пользуясь свойствами степенных рядов можно найти эти коэффициенты по известным значениям функции f(x) и ее производных в точке .

Положим в (*) . Получаем . Продифференцируем степенной ряд

и снова положим . Получим . Последующее дифференцирование дает При , то есть

После n-кратного дифференцирования получает Все остальные элементы содержат множитель . При получим , то есть

Таким образом, находятся последовательно все коэффициенты разложения (*). Подставляя найденные выражения в равенство (*) получим ряд . Такой ряд называется рядом Тейлора функции f(x).