Определение

Рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки называется степенной ряд (**) относительно разности , коэффициенты которого выражаются через функцию f(x) и ее производные в точке . Эти коэффициенты называются коэффициентами Тейлора функции f(x) в точке .

Установили, что если функцию можно разложить в степенной ряд по степеням разности , то этот ряд обязательно является рядом Тейлора этой функции.

Замечание

Все рассуждения сделаны в предположении, что функция f(x) может быть разложена в степенной ряд. Если этого не предполагать, а просто считать функцию f(x) бесконечное число раз дифференцируемой и составить для нее ряд Тейлора, то ниоткуда не следует, что этот ряд сходится при значениях х, отличных от .

Условие разложимости функций в ряд Тейлора.

Перейдем теперь к выяснению условий, при которых можно утверждать, что ряд Тейлора, составленный для функции f(x) действительно сходится в некотором интервале и что его сумма в точности равна f(x).

Обозначения:

- многочлен n-ой степени, представляющий n-ую частичную сумму ряда Тейлора

Сходимость ряда Тейлора к функции f(x) в точке х означает, что или, что то же самое, .

Величина дает при этом как раз ту ошибку, которую мы делаем, заменяя функцию f(x) многочленом .

Для оценки величины остаточного члена, служит теорема, которую докажем позднее.

Частный случай

Предположим, что функция f(x) сама есть многочлен n-ой степени. Тогда при последовательном дифференцировании функции f(x) будем каждый раз получать многочлен степени на единицу меньше. После n-го дифференцирования получаем постоянную величину и все последующие производные равны 0. Таким образом, от ряда Тейлора для многочлена f(x) останутся только первые n+1 слагаемых, то есть опять-таки многочлен n-ой степени. Полученное тождество

называется формулой Тейлора для многочлена.

Пример

Разложить многочлен по степеням x-1.

Решение:

Здесь

Таким образом

Остаточный член ряда Тейлора. Формула Тейлора.

Пусть f(x) – функция, относительно которой хотим выяснить, допускает она разложение в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки или нет.

Запишем ее в следующем виде

, где

- остаточный член ряда Тейлора.

Рассмотрим теорему относительно структуры , которая в дальнейшем позволит устанавливать, стремится ли к нулю при неограниченном возрастании n или нет, то есть можно ли представить функцию в виде ряда Тейлора или нет.

Теорема

Если функция f(x) во всех точках некоторого интервала, содержащего точку , имеет (n+1) производную , то остаточный член для любой точки этого интервала имеет вид , где заключено между x и

В соответствии с такой записью формула (*) имеет вид

В таком виде эту формулу называют формулой Тейлора n-го порядка для функции f(x) в точке . Последний член в этой формуле отличается от общего члена суммы только тем, что значение соответствующей производной берется не в точке , а в некоторой точке , лежащей между точками и х.

Некоторые частные случаи этой формулы:

1. Пусть n=0, тогда . Это формула Лагранжа.

2. Пусть n=1, тогда . Если в этой формуле отбросить остаточный член, то получим приближенное значение функции, основанное на применении дифференциала. . При этом f(x) заменяется линейной функцией.

Само по себе выражение для остаточного члена не дает возможности вычислять его величину, так как неизвестна точка , в которой берется (n+1) производная.

Поэтому в дальнейшем ограничимся оценкой величины . Это делается на основании следующего замечания:

Пусть в интервале, в котором справедлива формула Тейлора, по абсолютной величине не превосходит числа :

, тогда для любого х из этого интервала остаточный член удовлетворяет неравенству (***)

Действительно, согласно доказанной теоремы