1.2.13. Правила введения и удаления кванторов.
Для понимания механизма вывода в исчислении предикатов следует знать правила введения и удаления кванторов. Эти правила существенно облегчают преобразования сложных логических формул.
П 1.Удаление
квантора общности:
если выводима формула
,
то, заменив предметную переменную
на терм
,
можно удалить квантор всеобщности и
получить выводимую формулу
.
П 2. Введение квантора общности:
a) если выводима формула
,
то, заменив терм
на предметную переменную
,
можно ввести квантор общности и получить выводимую формулу
.
b) если выводима формула
и
не содержит свободной переменной
,
то выводима формула
.
П 3. Удаление квантора существования:
если выводима формула
,
то, заменив предметную переменную
на предметную постоянную
,
можно удалить квантор существования и
получить выводимую формулу
.
П 4. Введение квантора существования:
a) если выводима формула , то, заменив терм на предметную переменную в заданной области интерпретации, можно ввести квантор существования и получить
выводимую формулу
.
b) если выводима формула
и
не содержит свободной переменной
,
то выводима формула
.
П 5. Формирование ПНФ формулы:
a) если при исполнении логических операций
один из предикатов
не содержит переменной
,
связанной в другом предикате
,
и формулы выводимы, то выводима формула:
,
,
,
где
.
b) если выводимы формулы
и
,
то при смене в левой формуле имени
переменной получим также выводимые
формулы:
,
.
1.2.14 Метод дедуктивного вывода
В логике предикатов вывод выполняется так же, как в исчислении высказываний. Все правила логики высказываний (ИВ) включены в множество правил логики предикатов (ИП).
Пример 1. Доказать истинность заключения
Доказательство:
•
– посылка,
•
– посылка,
•
‑ заключение по
и правилу П 1,
•
‑ заключение по
и правилу П 1,
•
‑ заключение по
,
и правилу П 9,
•
‑ заключение по
и правилу П 2,
ч.т.д.
На рис. 1. изображен граф
вывода
)).
Пример 2. Доказать истинность заключения: «Таможенные чиновники обыскивают каждого, кто въезжает в страну, кроме высокопоставленных лиц. Если некоторые люди способствуют провозу наркотиков, то на внутреннем рынке есть наркотик. Никто из высокопоставленных лиц не способствует провозу наркотиков. Следовательно, некоторые из таможенников способствуют провозу наркотиков?»[15].
Пусть даны предикаты
,
,
,
,
.
Тогда формальная запись суждения имеет вид:
Доказательство.
•
‑ посылка,
•
‑ заключение по
и правилу П3 и.п.,
•
‑ заключение по
и правилу П2 и.в.,
•
‑ заключение по
и правилу П2 и.в.,
•
‑ посылка,
•
‑ заключение по
и правилу П1 и.п.,
•
‑ заключение по
,
•
‑ заключение по
и
,
при
,
когда
и
,
•
‑ посылка,
•
‑ заключение по
и правилу П5,
•
‑ заключение по
при
и правилу П1
•
‑ заключение по
,
и правилу П1,
•
‑ заключение по
,
и правилу modus ponens,
•
‑ заключение по
и правилу П2,
•
‑ заключение по
,
при
и правилу П1,
•
‑ заключение по
и правилу П3,
ч.т.д.
На рис.2 изображен граф
вывода
.
