1.2. Расчет частотных характеристик четырехполюсника

Так как четырехполюсник содержит реактивные элементы, его выходные токи и напряжения зависят от частоты входного сигнала. Для анализа частотных свойств четырехполюсника определим его комплексную передаточную функцию по напряжению в режиме холостого хода, когда . Передаточная функция - отношение напряжения на выходе к напряжению на входе , т. е.

(18)

Выразим передаточную функцию через параметры четырехполюсника в форме Z или Y . Для этого воспользуемся уравнениями (8) или (17), полагая в них , получим:

(19)

(20)

Из уравнений (19) и (20) следует, что

(21)

. (22)

Каждый из коэффициентов представляет собой многочлен от . В общем случае передаточная функция будет иметь вид

(23)

Разделяя действительные и мнимые части числителя и знаменателя, получим, например, для (21):

(24)

где - модуль комплексной функции или АЧХ;

- фаза комплексной функции или ФЧХ.

АЧХ и ФЧХ выбирается по следующим формулам:

для четырехполюсника в форме

(25)

(26)

где - фазы числителя и знаменателя передаточной функции;

для четырехполюсника в форме 

Знак “+” или “-” берется с таким расчетом, чтобы по абсолютной величине фаза была минимальной. При вычислении следует помнить, что так как мнимые и действительные части числителя и знаменателя передаточной функции могут изменять знак при изменении частоты , то угол следует брать в той четверти, которая определена знаками действительной и мнимой частей. Например, при получены следующие значения фазы:

Первый угол следует взять в 4-й четверти, т. е. - 12, а второй угол - во 2-й четверти, т. е. +100. Эти углы показаны на рис. 4, где представлены векторы, соответствующие комплексам числителя и знаменателя передаточной функции . В случае, когда числитель или знаменатель передаточной функции выражается только действительным числом, но может менять знак при изменении частоты, фаза меняется скачком на 180 при той частоте, которой соответствует смена знака. Например, передаточная функция имеет вид

Фаза числителя равна

.

Рис. 4

При частоте , меньшей резонансной частоты, равной , фаза равна нулю, и вектор , изображающий комплексное число в числителе, располагается на действительной, положительной полуоси (рис. 5). При частоте , большей резонансной частоты, фаза равна 180, а изображающий вектор 2 располагается на действительной отрицательной полуоси (см. рис. 5,а). ФЧХ для этого случая приведена на рис. 5,б.

Полученные значения следует учесть при составлении программы и при вычислении контрольных точек АЧХ и ФЧХ.

Рис. 5.

1.3. Характеристические параметры четырехполюсника

Характеристические параметры четырехполюсника - это характеристические сопротивления и и мера передачи g. Для асимметричного четырехполюсника два характеристических сопротивления и определяются из следующих соображений. Если четырехполюсник нагрузить на сопротивление , то его входное сопротивление становится равным , если четырехполюсник при обратной передаче нагрузить со стороны первичных зажимов на сопротивление , то его входное сопротивление со стороны вторичных зажимов становится .

Чаще всего эти сопротивления определяют из уравнений в форме А, записанных для прямой и обратной передачи сигнала и имеющих следующий вид:

при прямой передаче

(27)

при обратной передаче

(28)

Токи при прямой передаче и токи при обратной передаче имеют противоположные направления, т. е.

. (29)

Из уравнений (27) и (28) нетрудно получить выражения для и в виде

. (30)

Решая совместно уравнения (30), получим

(31)

Мерой передачи четырехполюсника g называется натуральный логарифм отношения входного напряжения к выходному.

(32)

Переход к параметрам от параметров или осуществляется в соответствии с таблицами перехода [1,3] и др. Следует отметить, что знаки в выражениях для коэффициентов в таблицах согласуются с принятыми направлениями токов.

В учебниках и монографиях часто принимается разное направление для тока при составлении уравнений четырехполюсника в форме Y и Z , в результате получаются разные знаки в выражениях, связывающих коэффициенты систем уравнений.

Приведем следующие формулы перехода к параметрам А от параметров Z или Y для выбранного на рис. 1 направления тока :

(33)

(34)

где и - определители матриц и , т. е.

(35)

Подставляя (33) и (34) в (31) и (32), получим характеристические параметры, выраженные через коэффициенты уравнений:

в форме Z

(36)

в форме Y

(37)

Четырехполюсник, нагруженный на характеристическое сопротивление, называется согласованным.

1.4. Комплексная передаточная функция нагруженного

четырехполюсника

Передаточную функцию по напряжению нагруженного четырехполюсника легко получить через параметры Z из уравнений (8), если исключить ток , а ток выразить через сопротивление нагрузки . Тогда

(38)

Аналогичным образом получим из уравнений (15) передаточную функцию по напряжению для нагруженного четырехполюсника, записанную через параметры Y в виде

(39)