1. Расчет характеристик четырехполюсника в установившемся режиме

1.1. Описание заданной цепи уравнениями контурных токов

или узловых потенциалов и приведение их к уравнениям

четырехполюсника

Определение коэффициентов четырехполюсника. Исследование режима работы электрической цепи часто сводится к установлению связи между токами и напряжениями на двух парах зажимов. Цепь с двумя парами зажимов называется четырехполюсником (рис. 2).

Рис. 2

Пара зажимов 1 - 1', к которой подводится энергия, называется входом, пара зажимов 2 - 2', к которой подключается нагрузка, - выходом (рис. 2). Если цепь линейна и содержит только пассивные элементы, токи и напряжения на входе , и выходе , связаны между собой системой линейных алгебраических уравнений. Возможное число различных по форме, но по существу эквивалентных пар уравнений равно шести. Приведем три формы уравнений:

где - коэффициенты уравнений.

Между коэффициентами всех форм существует связь. В [1] приводятся таблицы связи коэффициентов. В данной работе используется обобщенный метод, позволяющий формализовать задачу анализа сложной цепи [2].

Любую цепь можно описать уравнениями, составленными по методу контурных токов или узловых потенциалов. Предпочтение отдается тому методу, который обеспечивает наименьшее число уравнений в системе.

Метод контурных токов. Пусть первый и второй контуры проходят соответственно через входные и выходные зажимы, а контурные токи и совпадают со входными и выходными токами , . Контурные ЭДС и равны напряжениям на входе и выходе четырехполюсника и . Остальные контуры и контурные токи выбираются произвольно, но так, чтобы не охватывать зажимы и . Так как четырехполюсник пассивный, то контурные ЭДС , и т. д. будут равны нулю, и уравнения цепи в матричной форме примут вид (1).

Если из системы уравнений (2) исключать все токи, кроме и , то получим приведенную систему двух уравнений, соответствующим уравнениям четырехполюсника . Приведение системы уравнений (1) к системе в канонической форме, приведенной выше, осуществим следующим образом. Представим столбцы матриц и в уравнении (1) в виде блочных матриц, выделяя в отдельный блок входные и выходные токи и напряжения.

; (1)

. 2)

где - новые блочные матрицы, причем

; (3)

Матрица сопротивлений в (1) также разбивается на блочные матрицы, т.е.

, (4)

где - блочные матрицы, причем

(5)

и т. д.

С помощью блочных матриц система уравнений может быть записана в виде

(6)

Исключая из системы (6) матрицу токов и учитывая, что , получим следующее уравнение в матричной форме:

, (7)

где - обратная матрица.

Уравнение (7) является матричным уравнением четырехполюсника и может быть в развернутом виде записано следующим образом:

(8)

Матрица сопротивлений четырехполюсника вычисляется по формуле

. (9)

Формула (9) определяет по существу правило перехода от уравнений многоконтурной цепи, составленных по методу контурных токов, к уравнениям четырехполюсника в форме .

Аналогично можно получить правило перехода к уравнениям четырехполюсника в форме от уравнений сложной цепи, составленных по методу узловых потенциалов.

Представим схему четырехполюсника, как показано на рис. 3. Примем потенциал точек и равным нулю (если потенциалы этих точек не равны между собой, за ноль принимается потенциал одной из них). Обозначим потенциалы точек 1и 2 через и . Остальные потенциалы , и т. д. выбираются произвольно.

Рис. 3.

Система уравнений по методу узловых потенциалов в матричной форме будет иметь вид

(10)

где - узловые токи;

- собственные узловые проводимости;

(при k  m) - общие узловые проводимости.

Узловые токи для узлов 1 и 2 будут равны входным токам четырехполюсника

(11)

Остальные узловые токи будут равны нулю, так как четырехполюсник пассивный:

Потенциалы узлов 1 и 2 будут равны входным напряжениям четырехполюсника

(12)

Разобьем все матрицы системы уравнений (10) на блочные матрицы, выделяя в отдельные блоки матрицы входных и выходных токов и напряжений. Получим с учетом (12)

(13)

C помощью блочных матриц приведем систему (13) к виду

(14)

где

и т. д.

Исключая из системы (14) матрицу напряжений и учитывая, что , получим уравнение

(15)

где - обратная матрица .

Уравнение (15) является матричным уравнением четырехполюсника и в развернутом виде записывается следующим образом:

(16)

Матрица проводимостей четырехполюсника вычисляется по формуле

(17)