Критерии устойчивости.

Анализ устойчивости линейных систем путем прямого отыскания корней характеристического уравнения сопряжен с рядом трудностей. Это связано с тем, что общие формулы, выражающие корни алгебраических уравнений через их коэффициенты и содержащие только конечное число сложений, вычитаний, делений, умножений и извлечения из корня, существуют только для уравнений не выше четвертой степени.

К тому же для уравнений третьего и четвертого порядка они мало удобны. Задача существенно упрощается тем, что нет необходимости находить значения корней, поскольку для суждения об устойчивости требуется лишь наличие у этих корней отрицательной вещественной части или, все корни должны располагаться левее мнимой оси на плоскости комплексного переменного.

Критерием устойчивости называются условия, по которым можно судить об отрицательности вещественных частей корней, не вычисляя их значений. Критерии устойчивости делятся на две группы:

• алгебраические

• частотные

Алгебраические были разработаны Раусом и Гурвицем. Основаны на анализе определителя, получаемого из коэффициентов исходного уравнения, и различаются процессом вычисления.

Алгебраические критерии достаточно просты для исследования систем, имеющих характеристические уравнения невысокого порядка. Для уравнений высокого порядка их применение затруднительно и в этих случаях более удобно исследовать устойчивость системы, применяя частотный критерий.

Наиболее часто используются критерии устойчивости Михайлова и Найквиста. Они основаны на исследовании поведения годографа характеристического уравнения. По траектории годографа в разных квадрантах комплексной плоскости можно судить об устойчивости системы в целом.

Исследование качества линейных систем.

Комплекс требований, определяющих поведение системы в установившемся и переходном режимах при заданном воздействии, объединяют в понятие качества процесса управления.

Процессы управления в устойчивых системах обычно исследуют при наиболее неблагоприятных для системы воздействиях. К таким воздействиям относится подача на вход системы единичного скачка или единичного импульса.

Показатели качества переходного процесса.

При воздействии на систему единичного скачка все переменные устойчивой системы, совершив переходной процесс, из одного устойчивого состояния переходят в новое установившееся состояние. По характеру зависимости переходного процесса от времени можно судить о многих важных качествах исследуемой системы.

За время переходного процесса выходной сигнал, приближаясь к своему новому установившемуся значению h( ), может в одном случае проскочить его (h₁(t)), а в другом – стремится к нему, оставаясь все время меньше установившегося значения (h₂(t), h₃(t)). Причем, это стремление может быть как монотонным (h₃(t)), так и немонотонным (h₂(t)).

Переходной процесс типа h₁(t) называется процессом с перерегулированием, для которого .

Переходной процесс типа h₂(t), h₃(t) называется процессом без перерегулирования .

Для количественной оценки переходного процесса вводят следующие величины:

• установившееся значение выхода, определяющее статическую точность системы:

• t_рег – время переходного процесса, определяющее быстродействие системы:

при , где

δ_рег – заданная малая величина, характеризующая точность системы.

• σ – величина перерегулирования. Этот параметр характеризует плавность протекания переходного процесса:

• N – число перерегулирований или колебательность. Этот параметр определяется как число выбросов, для которых , т.е. число, показывающее сколько раз колебания h(t) около нового установившегося значения превышают величину δ_рег .

Оценкой качества систем управления в установившемся режиме обычно служит вынужденная составляющая ошибки:

Для оценки качества управления также используется значение среднеквадратичной скорости:

.

65