Типовые звенья линейных систем.

Любые сложные системы могут быть представлены как совокупность более простых элементов. Для исследования процессов в реальных системах пользуются идеализированными схемами, которые точно описываются математически и приближенно характеризуют реальные звенья систем в заданном диапазоне частот.

В теории управления вводятся некие типовые звенья, которые характеризуются, в независимости от их конструктивного исполнения, назначения, принципа действия и т.п., только своими передаточными функциями.

Классифицируют эти звенья по виду дифференциальных уравнений, описывающих их работу.

Типы звеньев:

• Описывающиеся линейными алгебраическими уравнениями относительно выходного сигнала:

а) пропорциональные (безынерционные);

б) запаздывающие;

в) дифференцирующие.

• Описывающиеся дифференциальными уравнениями первого порядка с постоянными коэффициентами:

а) инерционно дифференцирующие;

б) инерционные (апериодические, релаксационные);

в) интегрирующие (астатические, нейтральные);

г) интегро – дифференцирующее (упругие).

• Описывающиеся дифференциальными уравнениями второго порядка с постоянными коэффициентами:

а) колебательные;

б) апериодические.

Перечень формул, которые будут использованы для описания характеристик типовых звеньев:

1. Передаточная функция: ,

2. Переходная функция: ,

3. Весовая функция: ,

4. Частотная характеристика: ,

5. АЧХ: ,

6. ФЧХ: ,

7. ЛАЧХ: ,

8. ЛФЧХ: .

Пропорциональное звено.

Выходной сигнал прямо пропорционален входному. Описывается уравнением:

y(t) = kx(t), где

k – коэффициент усиления.

Примеры: резистивный делитель напряжения, рычажная передача и др.

Переходя к изображениям, имеем:

• Передаточную функцию:

• Переходная функция:

,

• Весовая функция:

• Частотная характеристика:

• АЧХ:

• ФЧХ: ,

• ЛАЧХ: ,

• ЛФЧХ: .

Принятое описание связи между входной и выходной величинами справедливо только для идеального звена и соответствует реальным звеньям лишь при низких частотах ω, меньших ω_верх. При ω > ω_верх в реальных звеньях коэффициент усиления k_ус начинает зависеть от частоты и с её увеличением в ∞ падает до 0.

Запаздывающее звено.

Описывается уравнением:

y(t) = x(t-τ), где

τ – время запаздывания.

Примеры: длинные электрические линии без потерь, тепловые объекты, трубопровод, зубчатые передачи и др.

Переходя к изображениям, имеем:

• Передаточная функция:

• Переходная функция: ,

• Весовая функция:

• Частотная характеристика:

• АЧХ:

• ФЧХ:

• ЛАЧХ:

Дифференцирующее звено.

Описывается уравнением:

, где

k – коэффициент усиления.

Примеры: конденсатор и индуктивность .

Переходя к изображениям при нулевых начальных условиях, имеем:

• Передаточная функция: ,

• Переходная функция: , ,

• Весовая функция: ,

• Частотная характеристика: ,

• АЧХ: ,

• ФЧХ: ,

• ЛАЧХ: .

Инерционно-дифференциальное звено.

Описывается дифференциальным уравнением первого порядка:

, где

Т – постоянная времени,

k – коэффициент усиления.

При Т→ 0 уравнение переходит к уравнению, описывающему идеальное дифференциальное звено.

Примеры: конденсатор или индуктивность с учетом активного сопротивления цепи.

Переходя к изображениям при нулевых начальных условиях, получим:

• Передаточная функция: ,

• Переходная функция: ; ,

• Весовая функция: ,

• Частотная характеристика: ,

• АЧХ: ,

• ФЧХ: ,

• ЛАЧХ: .

вычисляется при частоте

Инерционное звено.

Одно из самых распространенных звеньев. Описывается уравнением:

, где

Т – постоянная времени,

k – коэффициент усиления.

Примеры: электродвигатель, термопара.

Переходя к изображениям при нулевых начальных условиях, имеем:

• Передаточная функция: ,

• Переходная функция: , ,

• Весовая функция: ,

• Частотная характеристика: ,

• АЧХ: ,

• ФЧХ: ,

• ЛАЧХ: .

Интегрирующее звено.

Описывается уравнением:

или , где

k – коэффициент пропорциональности.

Примеры: вращающийся вал, если входной величиной считать скорость вращения, а выходной – угол поворота вала.

Переходя к изображениям при нулевых начальных условиях, имеем:

• Передаточная функция: ,

• Переходная функция: , ,

• Весовая функция: ,

• Частотная характеристика: ,

• АЧХ: ,

• ФЧХ: ,

• ЛАЧХ: .

Интегро-дифференцирующее звено.

Описывается дифференциальным уравнением первого порядка:

, где

Т₁, Т₂ – постоянные времени,

k – коэффициент усиления.

В зависимости от звено будет обладать различными свойствами. Если τ < 1, то звено по свойствам будет приближаться к интегрирующему и инерционному звеньям, если τ > 1, то звено ближе к дифференцирующему и инерционно-дифференциальному звеньям.

Переходя к изображениям при нулевых начальных условиях, имеем:

• Передаточная функция: ,

• Переходная функция: , ,

• Весовая функция: ,

• Частотная характеристика: , где

Ω = ωТ₂ – безразмерная частота,

• АЧХ: ,

• ФЧХ: ,

• ЛАЧХ: .

Колебательное звено.

Описывается дифференциальным уравнением второго порядка:

при постоянной затухания < 1

Требование < 1 вытекает из анализа решения этого уравнения:

Для нахождения решения следует разложить Y(p) на элементарные дроби, а затем восстановить оригинал:

Из выражения следует, что при < 1 в системе наблюдается затухающие гармонические колебания; при >= 1 корни характеристического уравнения вещественны и колебания не возникают. Если = 1, то колебания будут незатухающими с частотой .

Примеры: электрическая цепь, содержащая емкость, индуктивность и активное сопротивление; масса, подвешенная на пружине; маятник и др.

Переходя к изображениям при нулевых начальных условиях, имеем:

• Передаточная функция: ,

• Переходная функция: , ,

• Весовая функция: ,

• Частотная характеристика: ,

Введем безразмерную частоту: Ω = ωТ

• АЧХ: ,

• ФЧХ: ,

• ЛАЧХ: .

Как видно из рисунка годограф проходит через 2 квадранта (III, IV) и пересекает мнимую ось при Ω=1. Если уменьшить, то петля, очерченная концом вектора , увеличится.

Соединение звеньев и преобразование структурных схем линейных систем.

Звено в теории управления считается направленным, т.е. преобразует сигнал в одном направлении. Если ввести дополнительное предположение о независимости передаточных функций отдельных звеньев от их соединения, то каждая система может быть сведена к схеме, согласно которой:

,где

- управляемые величины и их составляющие, зависящие от начальных условий.

- эквивалентная передаточная функция.

На структурной схеме это уравнение выглядит следующим образом:

С математической точки зрения замена соединения нескольких звеньев одним звеном с эквивалентной передаточной функцией соответствует исключению переменных в системе уравнений.

Различают 3 вида соединения звеньев:

• последовательное

• параллельное

• параллельное с обратной связью

Последовательным соединением звеньев называется такое соединение, когда выходная величина переднего звена является входной величиной последнего звена. Если последовательно соединяются звенья L и M:

, то

Y_l=X_m

В общем случае:

Последовательное соединение n звеньев с передаточными функциями W_i(p), где i = 1, 2, …, n может быть заменено звеном с эквивалентной передаточной функцией:

Переходя от передаточной функции к частотным характеристикам системы, т.е. полагая, что p = jω, получим^

Представив в виде получим:

,

Переходя к логарифму:

Таким образом, при последовательном соединении звеньев АЧХ перемножаются, а ЛАЧХ и ФЧХ складываются.

Параллельным соединением звеньев называют такое соединение, когда на входа всех элементов подается одна и та же величина, а выходные сигналы суммируются. Если параллельно соединены n звеньев, то входная величина х равна:

x = x₁ = … = x_n (1)

(2)

Переходя в (1) и (2) к изображениям и учитывая, что по определению передаточной функции:

,

получим:

,

т.е.:

,

и, следовательно:

,

,

т.е. при параллельном соединении звеньев переходная и весовая функции каждого звена суммируются.

Если комплексную передаточную функцию i-того звена представить как:

,

то эквивалентная комплексная передаточная функция:

Параллельное соединение с обратной связью.

Окончательно получим:

.

Дифференциальное уравнение системы:

.

Устойчивость линейных систем управления.

Каждая система управления характеризуется неким равновесным состоянием, которое нарушается при внешних воздействиях. Это могут быть помехи, сигналы управления и т.п.

Под устойчивостью систем подразумевается свойство системы возвращаться к первоначальному состоянию после прекращения воздействия выведшего систему из этого состояния.

Неустойчивая система не возвращается к состоянию равновесия по окончании воздействия, а непрерывно удаляется от него или совершает недопустимо большие колебания около него.

Различают устойчивости систем в «малом» и в «целом». Некоторые системы могут быть устойчивы при воздействиях, не выходящих за определенные пределы, и неустойчивы в целом при больших воздействиях.

Анализ корней характеристического уравнения показывает, что необходимым и достаточным условием устойчивости линейных систем является отрицательность вещественной части всех корней характеристического уравнения. Если среди его корней будет хотя бы одна пара комплексно-сопряженных корней с вещественной частью, равной нулю, то система будет совершать колебания с нарастающей амплитудой.