Пример выполнения курсовой работы

Рассмотрим решение задачи для следующих исходных данных:

- постоянная времени объекта с,

- коэффициент усиления объекта и регулирующего органа град/рад,

- коэффициент усиления чувствительного элемента А-в/град,

- коэффициент усиления двигателя рад/(В*c),

- передаточное отношение редуктора ,

- коэффициент усиления цепи обратной связи А-в/рад,

- ампер-витки срабатывания реле А-в,

- максимальное напряжение на выходе релейного усилителя В.

I. Составление уравнений элементов сау.

Для заданной принципиальной схеме составим дифференциальные уравнения звеньев системы.

1. Уравнение регулируемого объекта

(1.1)

где – фактическое значение температуры объекта, – угол поворота регулирующего органа.

2. Уравнение чувствительного элемента

(1.2)

где – заданное значение температуры объекта, – ошибка рассогласования систем.

3. Уравнение релейного усиления

(1.3)

где – нелинейная функция, заданная статической характеристикой (см. рис. 2).

4. Уравнение двигателя постоянного тока

(1.4)

где – угол поворота вала двигателя.

5. Уравнение редуктора

(1.5)

где – коэффициент передачи редуктора

6. Уравнение цепи обратной связи

(1.6)

где – ампер-витки обмотки обратной связи.

II. Составление структурно-математической схемы сау.

Структурно-математическая схема системы автоматического регулирования температуры изображена на рис. 3.

В соответствии со структурно-математической схемой дифференциальное уравнение линейной части системы можно записать в следующем виде:

(1.7)

Подставим в уравнение (1.7) численные значения параметров и получим

(1.8)

Уравнение линейной части (1.7) дополняется уравнением нелинейного звена (1.3)

Рис. 3. Структурно-математическая схема система автоматического регулирования температуры

III. Исследование устойчивости сау.

1. Исследуем устойчивость САУ температуры методом фазового пространства при отключенной местной обратной связи (см. рис. 1).

В режиме стабилизации температуры можно принять , .

При этом уравнения звеньев системы можно записать в следующим виде:

1. Уравнение объекта регулирования

(3.1.1)

2. Уравнение чувствительного элемента

(3.1.2)

3. Уравнение усилителя (при )

(3.1.3)

4. Уравнение двигателя постоянного тока

(3.1.4)

5. Уравнение редуктора

(3.1.5)

Учитывая, что ток в обмотке поляризованного реле пропорционален отклонению температуры , а скорость отклонения регулирующего органа пропорциональна напряжению , в качестве входной величины нелинейного звена (поляризованного реле) можно принять , а в качестве выходной – величину (см. рис. 4).

Рис. 4. Статическая характеристика нелинейного звена

На этом рисунке

.

В соответствии с уравнением объекта регулирования (3.1.1) и статической характеристикой нелинейного звена (см. рис. 4) уравнения всей системой можно записать в следующем виде:

(3.1.6)

(3.1.7)

Решив уравнения (3.1.6) и (3.1.7) совместно, получим

(3.1.8)

(3.1.9)

(3.1.10)

Рассмотрим уравнение (3.1.8):

(3.1.11)

Введем обозначения , и уравнение (3.1.11) перепишем следующим образом:

(3.1.12)

Для исключения времени из уравнения (3.1.12) разделим его на . Получим

или после разделения переменных

(3.1.13)

Проинтегрировав уравнение (3.1.13), получим уравнение фазовых траекторий

(3.1.14)

Проделав аналогичные операции с уравнениями (3.1.9) и (3.1.10), получим для них

(3.1.15)

(3.1.16)

Подставив в уравнения (3.1.14)-(3.1.16) численные значения параметров, получим

(3.1.17)

(3.1.18)

(3.1.19)

По уравнениям (3.1.17)-(3.1.19) на рис. 5 построен фазовый портрет всей системы. Там же выделена фазовая траектория, соответствующая начальным условием: при , , .

Рис. 5. Фазовые траектории системы регулирования температуры

По виду фазовой траектории можно установить, что процесс в системе заканчивается немного больше, чем за один период колебаний, Переходный процесс в системе может закончиться в любой точке отрезка АВ.

2. Исследуем устойчивость САУ температуры (см. рис. 1) прямым методом Ляпунова.

В режиме стабилизации температуры можно принять , .

Согласно структурно-математической схеме (см. рис.3) САУ температуры описывается следующими дифференциальными и алгебраическими уравнениями:

(3.1.2)

если коэффициент усиления интегрирующего звена относительно к следующему пропорциональному звену.

Приведем систему (3.2.1) к нормальному виду. Для этого введем обозначения:

Получим:

(3.2.2)

Общий вид системы нелинейных уравнений 2-го порядка заданных в нормальной форме, представлен ниже:

(3.2.3)

Откуда следует:

Запишем уравнение (3.2.2) в канонической форме. Для этого из коэффициентов уравнения составим определитель:

(3.2.4)

Для нашего случая определитель имеет вид:

(3.2.5)

Определим корни характеристического уравнения .

Ввиду того, что в характеристическом уравнении имеется один нулевой корень, канонические уравнения записываются в следующем виде:

(3.2.6)

Определим постоянные , и :

(3.2.7)

(3.2.8)

где обозначает алгебраическое дополнение элемента -ой строки и -го столбца определителя .

По формуле (3.2.8) определим

(3.2.9)

(3.2.10)

Определим :

(3.2.11)

Поскольку , то в соответствии с уравнением (3.2.7) .

Для класса нелинейных систем, к которому принадлежит рассматриваемая система, достаточные условия устойчивости имеют вид:

(3.2.12)

где

Условие (3.2.12) приводит к следующему достаточному условию устойчивости рассматриваемой системы:

3.3 Исследуем устойчивость САУ температуры частотным методом Попова при отключении местной обратной связи (см. рис. 1).

В режиме стабилизации температуры можно принять , .

Структурно-математическая схема нелинейной САУ представлена на рис. 6, а.

Коэффициент усиления линейной части системы равен .

Коэффициент усиления нелинейного звена системы равен (см. рис. 2).

Коэффициент усиления линейной части системы и нелинейного звена условно отнесем к нелинейному звену.

Необходимо определить, при каких значениях система будет абсолютно устойчива, если характеристика нелинейного звена расположена в секторе (см. рис. 6, б).

а) б)

Рис. 6. Структурно математическая схема САУ температуры (а) и статическая характеристика нелинейного звена (б)

Частотная передаточная функция линейной части системы имеет вид:

(3.3.1)

Ее вещественная и мнимая части соответственно равны:

(3.3.2)

(3.3.3)

Введем некоторые функции и следующим образом:

(3.3.4)

(3.3.5)

По выражениям (3.3.4) и (3.3.5) построим характеристику (см. рис. 7) и через точку проведем прямую Попова так, чтобы построенная характеристика целиком лежала справа от этой прямой.

Уравнение прямой Попова, коэффициенты которого получены путем подбора, приведено ниже:

Рис. 7. Характеристика V*(ω) = f [U*(ω)] (сплошная линия) и прямая Попова (пунктирная линия)

Расчетное значение разомкнутой системы равно k = k₂k₃k₀k₁*U_max/aω_cp = 2*0.001*10*0.25*110/0.5 = 1.1

Согласно рис. 7 1/k ≈ 1/1.1 ≈ 0.909. Поэтому система абсолютно устойчива для всех нелинейных характеристик, лежащих в секторе

0 < k < 1.1 (3.3.6)

и, в частности, для характеристики релейного типа, изображенной на рис. 6,б.

Таким образом, достаточное условие абсолютной устойчивости замкнутой нелинейной системы сводится в данном случае к выполнению необходимого и достаточного условия устойчивости замкнутой линейной системы, имеющей в разомкнутом состоянии коэффициент усиления, равный k.

3. Исследуем устойчивость САУ температуры и определим амплитуду и частоту колебаний алгебраическим методом (см. рис. 1).

По структурно-математической схеме (см. рис. 1) определяем дифференциальное уравнение линейной части системы при отключенной местной обратной связи и :

(3.4.1)

Для нелинейного звена запишем гармонически линеаризованное выражение

(3.4.2)

где для нелинейности (см. рис. 2)

(3.4.3)

Подставляя значение u из уравнения (3.4.2) в уравнение (3.4.1), получим линеаризованное уравнение замкнутой нелинейной системы

(3.4.4)

где k = k₂k₃k₀k₁ – коэффициент усиления линейной части системы.

Этому дифференциальному уравнению соответствует характеристическое уравнение

(3.4.5)

Условие существования в уравнении (3.4.4) периодического решения

(3.4.6)

будем отыскивать с помощью критерия Михайлова. Для этого в характеристический полином:

(3.4.7)

подставим , выделим вещественную и мнимую части и приравняем их к нулю:

(3.4.8)

Из второго уравнения системы (3.4.8) найдем искомую частоту периодического решения .

Подставим это решение в первое уравнение (3.4.8) и найдем выражение, связывающее амплитуду периодического решения с параметрами системы:

(3.4.9)

Отсюда получим

Для исследования устойчивости найденного периодического решения воспользуемся приближенным аналитическим условием, согласно которому периодическое решение устойчиво, если выполняется неравенство

(3.4.10)

Из выражений (3.4.8) находим

Подставим выражение для частных производных в (3.4.10) и одновременно произведем замену .

Получим условие устойчивости периодического решения в виде

или (3.4.11)

В данном случае условие существования периодического решения имеет вид: . Следовательно, автоколебания отсутствуют, состояние равновесия устойчиво.

3.5 Исследуем устойчивость САУ температуры и определим амплитуду и частоту колебаний методом гармонической линеаризации (см. рис. 1) при отключенной местной обратной связи и .

Структурно-математическая схема САУ температуры представлена на рис. 8. Статическая характеристика нелинейного звена изображена на рис. 2.

Введем следующие обозначения:

– коэффициент усиления линейной части системы.

Рис. 8. Структурно-математическая схема САУ температуры

Построим амплитудно-фазовую частотную характеристику линейной части системы и годограф гармонически линеаризованного нелинейного звена . Согласно структурно-математической схеме частотная передаточная функция линейной части системы равна:

ее модуль

и фаза

Ее вещественная и мнимая части соответственно равны:

(3.5.1)

(3.5.2)

Задаваясь значениями ω от 0 до ∞, по формулам (3.5.1) и (3.5.2) строим амплитудно-фазовую характеристику линейной части системы (см. рис. 9).

Рис. 9. Частотные характеристики линейной части системы и нелинейного звена

Гармонически линеаризованная передаточная функция нелинейного звена равна:

После подстановки численных значений параметров нелинейного звена получим:

Задаемся значениями a от a = b = 0,5 до ∞ и строим годограф нелинейного звена (см. рис. 9). В данном случае этот годограф совпадает с отрицательной вещественной полуосью и имеет две ветви. Минимальное значение модуля функции :

достигается при . Годографы и не пересекаются. Это означает, что состояние равновесие системы устойчиво, автоколебания отсутствуют.