V. Определение функции и моментов распределения случайного процесса на выходе нелинейной сау температуры в сушильной камере.
На выходе безынерционного усилителя, имеющего релейную статическую характеристику, изображенную на рис. 12, подается случайный сигнал в виде напряжения u1. Плотность распределения этого сигнала описывается функцией
(5.1)
где
- среднее значение входного напряжения
u1;
σ1
– среднеквадратическое отклонение
напряжения u1
от среднего значения
.
В зоне насыщения выходное напряжение
.
Срабатывание релейного усилителя
происходит при напряжении u1л.
Найти и представить
в виде графика закон распределения
на выходе усилителя при следующих
исходных данных: среднее значение
,
среднеквадратическое значение σ1
= 2*10-3В,
uл
= 1,9*10-3В,
u2m
= 100В.
Решение. Функция представляет собой дельта-функции при значениях u2 = 0 и u2 = ±100В (см. рис. 12,б).
Площади этих дельта-функций, равные вероятностям появления соответствующего выходного сигнала u2, определяется следующим образом.
Введем относительную величину срабатывания релейного элемента по оси u1:
(5.2)
Вероятность
появления сигнала
на выходе усилителя равна нулю, так как
более чем 100В усилитель дать не может
согласно статической характеристике.
Вероятность же сигналов u2 = ±100В могут быть определены по формулам:
(5.3)
(5.4)
Подставив в
уравнение (5.2) значения
,
найдем
a)
б)
Рис. 12. Плотность вероятности случайного сигнала (б) на выходе элемента с идеальной релейной характеристикой (а)
Воспользовавшись
данными таблицами 5.1 для модулей
и
,
получим следующие значения вероятностей:
Таблица 5.1
Нормированный интеграл плотности вероятности нормального закона распределения
Значения функции
U |
Ф(u) |
u |
Ф(u) |
u |
Ф(u) |
u |
Ф(u) |
u |
Ф(u) |
0,00 |
0,000 |
0,54 |
0,205 |
1,08 |
0,360 |
1,62 |
0,447 |
2,32 |
0,490 |
0,02 |
0,008 |
0,56 |
0,212 |
1,10 |
0,364 |
1,64 |
0,450 |
2,36 |
0,491 |
0,04 |
0,016 |
0,58 |
0,219 |
1,12 |
0,369 |
1,66 |
0,452 |
2,40 |
0,492 |
0,06 |
0,024 |
0,60 |
0,226 |
1,14 |
0,373 |
1,68 |
0,454 |
2,44 |
0,493 |
0,08 |
0,032 |
0,62 |
0,232 |
1,16 |
0,377 |
1,70 |
0,455 |
2,48 |
0,493 |
0,10 |
0,040 |
0,64 |
0,239 |
1,18 |
0,381 |
1,72 |
0,457 |
2,52 |
0,494 |
0,12 |
0,048 |
0,66 |
0,245 |
1,20 |
0,385 |
1,74 |
0,459 |
2,56 |
0,495 |
0,14 |
0,056 |
0,68 |
0,252 |
1,22 |
0,389 |
1,76 |
0,461 |
2,60 |
0,495 |
0,16 |
0,064 |
0,70 |
0,258 |
1,24 |
0,393 |
1,78 |
0,463 |
2,64 |
0,496 |
0,18 |
0,071 |
0,72 |
0,264 |
1,26 |
0,396 |
1,80 |
0,464 |
2,68 |
0,496 |
0,20 |
0,079 |
0,74 |
0,270 |
1,28 |
0,400 |
1,82 |
0,466 |
2,72 |
0,497 |
0,22 |
0,087 |
0,76 |
0,276 |
1,30 |
0,403 |
1,84 |
0,467 |
2,76 |
0,497 |
0,24 |
0,095 |
0,78 |
0,282 |
1,32 |
0,407 |
1,86 |
0,469 |
2,80 |
0,497 |
0,26 |
0,103 |
0,80 |
0,288 |
1,34 |
0,410 |
1,88 |
0,470 |
2,84 |
0,498 |
0,28 |
0,110 |
0,82 |
0,294 |
1,36 |
0,413 |
1,90 |
0,471 |
2,88 |
0,498 |
0,30 |
0,118 |
0,84 |
0,300 |
1,38 |
0,416 |
1,92 |
0,473 |
2,92 |
0,498 |
0,32 |
0,126 |
0,86 |
0,305 |
1,40 |
0,419 |
1,94 |
0,474 |
2,96 |
0,499 |
0,34 |
0,133 |
0,88 |
0,311 |
1,42 |
0,422 |
1,96 |
0,475 |
3,00 |
0,499 |
0,36 |
0,141 |
0,90 |
0,316 |
1,44 |
0,425 |
1,98 |
0,476 |
3,20 |
0,4993 |
0,38 |
0,148 |
0,92 |
0,321 |
1,46 |
0,428 |
2,00 |
0,477 |
3,40 |
0,4997 |
0,40 |
0,155 |
0,94 |
0,326 |
1,48 |
0,431 |
2,04 |
0,479 |
3,60 |
0,49984 |
0,42 |
0,163 |
0,96 |
0,332 |
1,50 |
0,433 |
2,08 |
0,481 |
3,80 |
0,49993 |
0,44 |
0,170 |
0,98 |
0,337 |
1,52 |
0,436 |
2,12 |
0,483 |
4,00 |
0,49997 |
0,46 |
0,177 |
1,00 |
0,341 |
1,54 |
0,438 |
2,16 |
0,485 |
4,50 |
0,499997 |
0,48 |
0,184 |
1,02 |
0,346 |
1,56 |
0,441 |
2,20 |
0,486 |
5,00 |
0,499999 |
0,50 |
0,192 |
1,04 |
0,351 |
1,58 |
0,443 |
2,24 |
0,488 |
|
|
0,52 |
0,199 |
1,06 |
0,355 |
1,60 |
0,445 |
2,28 |
0,489 |
|
|