Л. р. 2:

1. Содержательная и формальная постановка задачи.

Разработать программу, позволяющую изображать прямую, ее проекции и линии связи на пространственном и комплексном чертежах, с помощью алгоритма Брезенхема.

Формальную постановку задачи можно определить как экранное отображение:

1. пространственного чертежа прямой, содержащего изображения прямой АВ, трех ее проекций А₁В₁, А₂В₂ и А₃В₃ и линий связи;

2. комплексного чертежа прямой с изображением трех ее проекций А₁В₁, А₂В₂ и А₃В₃ и линий связи;

3. ползунковых элементов управления для редактирования координат точек А и В прямой.

Причем при изменении положения ползунков, задающих координаты точки прямой, должно происходить соответствующее изменение пространственного и комплексного чертежей .

3. 2. Структура решения.

- Отображение прямой АВ на комплексном и пространственном чертежах.

- Отображение точек А и В

- Пересчет мировых координат точек А и В, в координаты устройства и вычисление по ним координат проекций А₁В₁, А₂В₂, А₃В₃ на пространственном и комплексном чертежах.

- Перерисовка изображения пространственного и комплексного чертежей прямой.

- Прорисовка точек на пространственном и комплексном чертежах.

- Прорисовка линии с помощью алгоритма Брезенхэма на пространственном и комплексном чертежах.

*Исходные графические объекты могут находиться только в первом октанте.

3. Обзор и анализ методов решения.

Прорисовка точек и пересчёт координат осуществляется с помощью методов используемых в первой лабораторной работе.

Все линии прочерчиваются с помощью алгоритма Брезенхема.

4. Описание реализации применяемых методов.

- Отображение прямой АВ на комплексном и пространственном чертежах.

- Отображение точек А и В

Эту подзадачу будем решать, используя следующий метод перевода мировых координат в координаты устройства пространственного чертежа. Пусть прямая АВ задана двумя точками с координатами А(Aх,Aу,Az) и В (Bx,By,Bz) в трехмерном пространстве.

- Перерисовка изображения пространственного и комплексного чертежей прямой АВ.

При реализации этой подзадачи будем использовать набор методов вывода графических примитивов на экран. Данными методами будут: прорисовка линии, эллипс и части эллипса.

- Прорисовка линии с помощью алгоритма Брезенхэма на пространственном и комплексном чертежах.

Поскольку в большинстве случаев, для визуализации различных объектов и поверхностей используются линейные апроксимации, т. к. кривые в чистом виде почти не чертятся, то скорость и надежность прочерчивания прямых является достаточно весомым фактором.

Будем считать, что у нас есть функция point (х,у), используемая для высвечивания пиксела на растровом устройстве. Основная задача, в связи с этим, заключается в определении тех точек сетки (x,y), лежащих на экране, которые должны быть высвечены. Поскольку таких точек может быть достаточно большое количество, то предпочтительнее использовать только целочисленную арифметику, которая выполняется быстрее и надежнее, чем операции с плавающей точкой.

Рассмотрим отрезок, заданный тт. Т1(Х1, Y1) и Т2 (Х2, Y2). Причём при условии, что Х2>Y2, Y2≥Y1, Y2-Y1≤X2-X1.

Для рассмотрения перехода от действий с плавающей точкой к целочисленной арифметике рассмотрим несколько алгоритмов:

1)real – алгоритм (без целочисленной арифметики).

2)real – integer алгоритм (промежуточный алгоритм). Если рассмотреть изменение у, то ожно увидеть, что он или остается тем же, или увеличивается на 1. А поскольку выбор должен осуществляться таким образом, чтобы новая точка сетки (х, у) располагалась по возможности ближе к линии, проходящей через начальные и конечные точки, то это означает, что расстояние по вертикали между точкой и прямой (t1, t2) не должно превышать d=0,5.

Если расстояние по вертикали между точками А, В больше чем по горизонтали, то независимой координатой становится Y, теперь при увеличении Y координата X остаётся постоянной или изменяется на 1.

Известно, что для прямой линии

Y_i+1=Y_i+(y₂-y₁)/(x₂-x₁)∆X, где k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁).

3) integer – алгоритм (алгоритм Брезенхема, 1965 г.). Поскольку d вычисляется как конечная сумма элементов, каждый из которых равен либо k, либо -1, то d является рациональной дробью и подобно k, может быть записью в виде частного со знаменателем (x₂-x₁). То есть можно перейти к целочисленным переменным, умножив k и d на (x₂-x₁) и 2.

Для избавления от не целого 0,5, умножим знаменатель на 2. Получим

k = 2k(x2-x1), D= 2d(x2-x1). Пусть V= 2(x2-x1), d>0,5;

2d(x2-x1)>0,5*2(x2-x1), т.е. D>dx, где dx= (X2-X1).

Т.к. с нулём сравнение производится быстрее, то

D-dx>0, D-dx=E, а т.к. d=0, то и D=0 . Получаем, что E = -dx.

dx= (X2-X1)

dy= (Y2-Y1); x=dx*2, k=dy*2 вместо увеличения величина D на K, будем использовать увеличение E на К, а вместо уменьшения D на V – уменьшение E на V.

Таким образом реализовать этот метод можно следующим образом:

V=(X2-X1)*2;

K=(Y2-Y1)*2;

E=X1-X2;

Y=Y1;

For (x=X1; X<=X2; x++)

{ point(x,y); //point(x,y) – высвечивает точку (x,y)

E+=K;

If (E>0) {y++, E-=V}

}

Обобщенный алгоритм Брезенхэма

Пусть произвольный отрезок MN задан координатами своих концов M(X₁,Y₁) и N(X₂,Y₂). Рассмотрим величину |X₂-X₁| - |Y₂-Y₁|. Ели эта величина больше 0 то это означает, что угол наклона отрезка к оси Ox меньше 45°. В этом случае ведущей будем выбирать координату x. В противном случае угол наклона MN к оси Ox больше 45° и за ведущую координату мы возьмем y. При таком выборе координаты x и y меняются местами во всех выражениях, где они участвуют.

Так как ведущую координату удобнее наращивать, а не уменьшать в процессе прорисовки отрезка, то поменяем точки M и N местами (если это необходимо) чтобы ведущая координата в направлении от M к N возрастала. Затем проверим, в каком направлении меняется не ведущая координата (убывает или возрастает от точки M к N). Если не ведущая координата убывает в направлении от M к N, то её значение в ходе алгоритма будем не увеличивать, а уменьшать на 1, а также умножим в этом случае величину K на –1.

В данной лабораторной работе алгоритм Брезенхема используется в следующей функции:

void CLine::LineBr(TImage* pDC,int X1,int Y1,int X2,int Y2)

{ // алгоритм Брезенхема рисования линии

int vertical;

int x,y,dx,dy,xinc,yinc,hlp,v,k,e;

pDC->Canvas->MoveTo(X1,Y1);

vertical=0;

dx=abs(X2-X1);

dy=abs(Y2-Y1);

xinc=1;

yinc=1;

if (X2<X1)

{

xinc=-1;

}

if (Y2<Y1)

{

yinc=-1;

}

if (dy>dx)

{

vertical=1;

hlp=dx;

dx=dy;

dy=hlp;

}

v=2*dx;

k=2*dy;

e=-dx;

x=X1;

y=Y1;

while(dx>0)

{

dx-=1;

pDC->Canvas->LineTo(x,y);

e+=k;

if (e>0)

{

if (vertical==1)

{

x+=xinc;

}

else

{

y+=yinc;

}

e-=v;

}

if (vertical==1)

{

y+=yinc;

}

else

{

x+=xinc;

}

}

}

Л. р. 3: