13. Частица в потенциальной яме.

Одномерное стационарное уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме с бесконечно высокими стенками имеет вид

,

где  (x) – волновая функция частицы, m – масса частицы, E – полная энергия частицы.

Решением одномерного стационарного уравнения Шредингера для частицы в прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками является волновая функция вида

,

где A – постоянная, определяемая из условия нормировки ( ), n – целое число, l – ширина потенциальной ямы, x – координата частицы.

Вероятность W нахождения частицы в области a₁ < x < a₂ определяется уравнением

.

Частица в одномерной потенциальной яме с шириной a с бесконечно высокими стенками находится в состоянии n.

Задание. Определить вероятность нахождения частицы в области a₁ < x < a₂, а также построить график зависимости плотности вероятности │ψ²(x)│ от координаты x (табл. 2).

Таблица 2

№ варианта	n	a1	a2	№ варианта	n	a1	a2
1	1	a/3	2a/3	11	3	0	a/3
2	1	0	a/3	12	3	a/3	2a/3
3	1	2a/3	a	13	3	a/3	a
4	1	a/4	3a/4	14	3	2a/3	a
5	1	a/2	3a/4	15	3	a/6	5a/6
6	2	a/8	5a/8	16	4	0	a/4
7	2	a/4	3a/4	17	4	a/4	a/2
8	2	3a/8	5a/8	18	4	a/4	3a/4
9	2	a/8	3a/8	19	4	3a/4	a
10	2	a/2	3a/4	20	4	3a/8	5a/8

14. Радиоактивность

Закон радиоактивного распада

,

где N₀ – начальное число атомов радиоактивного вещества, N – число атомов радиоактивного вещества по истечении времени t, – постоянная радиоактивного распада, T_1/2 – период полураспада.

Если период полураспада радиоактивного вещества много больше времени, в течение которого происходит распад (T_1/2  t), то количество распавшихся атомов N можно определит по формуле

.

Периоды полураспада некоторых радиоактивных элементов представлены в Приложении 6.

Число распадов, происходящих в препарате, содержащего N атомов, за единицу времени, называется активностью радиоактивного препарата

.

Задачи

14.1. Известно, что 1 г урана ₉₂U²³⁸ в равновесии с продуктами его распада выделяет мощность 1,0710^–7Вт. Найти полное количество тепла, выделяемое одним молем урана за среднюю продолжительность жизни атомов урана.

14.2. В урановой руде обнаружен свинец ₈₂Рb²⁰⁶. Чему равен возраст урановой руды, если она теперь содержит 0,8 г свинца на каждый грамм ₉₂U²³⁸?

14.3. Известно, что 1 мг радона выделяет около 70 кал/мин. Рассчитать полную энергию распада.

14.4. Показать, что 1 кюри = 3,710¹⁰ распадов в секунду есть активность 1г ₈₈Ra²²⁶.

14.5. Радиоактивное вещество содержит 3 мг урана . Какое количество урана останется через 1,5·10⁵ лет?

14.6. Сколько процентов начального количества вещества актиния Ac²²⁵ распадается через 5 дней?

14.7. Сколько гелия выделяется в результате распада 1 г радия в течение года?

14.8. Найти активность препарата через 10, 30, 90 дней после его изготовления, если начальная активность 100 мКюри.

14.9. Определить возраст древних деревянных предметов, если известно, что удельная активность изотопа углерода у них составляет 3/5 удельной активности этого изотопа в только что срубленных деревьях.

14.10. В результате очистки получен концентрат, содержащий 10 массовых % . Найти, как измениться массовая доля в этом препарате через 10⁵ лет.

14.11. Для исследований был изготовлен радиоактивный источник, содержащий, содержащий 1 г радиоактивного кальция . Как измениться активность этого препарата через 10 месяцев?

14.12. Для исследования биологической ткани был использован препарат, содержащий 10⁶ атомов радиоактивного натрия . Через какой интервал времени в исследуемой ткани останется не более 1% внесённых радиоактивных атомов натрия.

14.13. Первоначально имелось два радиоактивных препарата содержащих хром и железо с периодом полураспада 45 суток с одинаковой активностью. Сравнить их активность через 1 месяц.

14.14. Для медицинских исследований больному было введено 1 мг 10% раствора радиоактивного йода . Найти и сравнить активность этого препарата в момент введения и через 20 минут.

14.15. Найти, какую массу радиоактивного кобальта необходимо взять, чтобы получить источник излучения по активности равный 10 г .

14.16. Какая доля радиоактивных атомов кобальта распадётся за 1 месяц?

14.17. Активность некоторого радиоактивного изотопа уменьшается в 2,5 раза за 7 суток. Найти его период полураспада.

14.18. В начальный момент активность некоторого изотопа составляла 10,8 Бк. Какова будет его активность по истечении половины периода полураспада?

14.19. Определить период полураспада таллия, если известно, что через 100 дней его активность уменьшилась в 1,07 раза.

14.20. Радиоактивный препарат содержит 3 мг урана . Через какое время активность данного препарата уменьшиться вдвое?