КУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра геометрии

В.А. Долженков, Е.Г. Соловьева, И.В. Горчинский

ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ

Курск 2006

Печатается по решению редакционно-

издательского совета университета

Элементы общей топологии: Учеб.-метод. пособие / сост. В.А. Долженков, Е.Г. Соловьева, И.В. Горчинский − Курск: Курск. гос. ун-т, 2006. – 63 с.

Данное учебно-методическое пособие предназначено для студентов 1-го курса специальности 351500 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем» по курсу «Геометрия и топология» (количество часов 400).

Пособие содержит теоретический и практический материал по теме, примеры выполнения контрольных заданий.

Рецензенты Лоторева И. В., канд. физ-мат наук

Фрундин В.Н., канд. пед. наук

ã Долженков В.А., Соловьева Е.Г., Горчинский И.В., сост. 2006

ã Курский государственный университет, 2006

Составители

Виктор Анатольевич Долженков

Елена Георгиевна Соловьева

Игорь Викторович Горчинский

Элементы общей топологии

Учебно-методическое пособие

Редактор И.Н.Никитина

Лицензия ИД № 06248 от 12.11.2001 г.

Подписано в печать 10.03.2006. Формат 60х84/16. Печать офсетная. Усл. печ. л. 3,9. Тираж 30 экз. Заказ .

Курский государственный университет

305000, Г. Курск, ул. Радищева, 33

Отпечатано в лаборатории

информационно-методического

обеспечения КГУ

Оглавление

Введение.

Глава 1. Элементы общей топологии ……………….....4

§ 1. Метрическое пространство ………………… 4

§ 2. Определение и примеры топологических пространств …………..9

§ 3. Понятие подпространства. Замкнутые множества.

Внутренние, внешние и граничные точки ……………….... 12

§ 4. Базис. Аксиомы отделимости …………….........19

§ 5. Компактность топологических пространств. Связность

топологических пространств ………………….22

§ 6.Топологические преобразования топологических пространств …31

Глава 2. Топологические свойства поверхностей

§ 1. Понятие двумерного многообразия ………………….39

§ 2. Эйлерова характеристика поверхности ………………….43

§ 3. Ориентируемые и неориентируемые поверхности ……………….49 Решение нулевого варианта контрольной работы ………….….....53

Тест по курсу топология …………….....57

Список литературы ………………62

Введение

В топологии впервые даются строгие определения таких фундаментальных понятий геометрии, как линия и поверхность. Предметом топологии являются свойства фигур, сохраняющиеся при гомеоморфизмах, то есть взаимно однозначных и непрерывных в обе стороны отображениях. Топология, как наука возникла из потребностей связанных с математическим анализом. Эта наука, хотя и считается молодой, на самом деле известна уже давно, именно благодаря тесным связям с математическим анализом.

Геометрия школьного курса имеет дело в основном со свойствами фигур, связанными с понятиями длины, площади, объема – то есть метрическими свойствами фигур. Лишь очень немногие теоремы и задачи школьного курса геометрии рассматривают свойства иного характера. Топология как раз и является разделом геометрии, изучающим свойства фигур, которые могут быть установлены без измерения и сравнения величин, но при этом имеющие геометрический смысл.

Глава 1. Элементы общей топологии

§ 1. Метрическое пространство

Определение 1. Декартово произведение множеств А и В определяется как множество всех упорядоченных пар (х, у), где хА, уВ, то есть

АВ = (х, у)| хА, уВ.

В частности, возможно А = В.

Определение 2. Говорят, что в множестве Х задана метрика , если определено отображение

: Х  Х  R,

удовлетворяющее следующим аксиомам:

1.  х, у  Х   (х, у)  0, причем  (х, у) = 0  х = у.

2.  х, у  Х   (х, у) =  (у, х).

3.  х, у, z  Х {  (х, у) +  (у, z)   (х, z)}.

Условия 1, 2, 3 называются аксиомами метрики, при этом условие 2 называется аксиомой симметрии, а 3 – аксиомой треугольника.

Определение 3. Множество Х с заданной на нем метрикой  называется метрическим пространством и обозначается ( Х, ).

В тех случаях, когда ясно, о какой метрике идет речь, метрическое пространство ( Х,) обозначают просто Х.

Число (х, у) называют расстоянием между точками х и у в пространстве Х.