3.2. Дискретная случайная величина и её числовые характеристики

Случайная величина, которая может принимать только конечное или счетное множество значений, называется дискретной.F(X) для дискретной случайной величины имеет график в виде ступенчатой линии, всюду непрерывная слева функция.

Кроме F(X) для описания случайной величины X существуют числовые характеристики.

Математическое ожидание – это среднее значение, которое может принимать случайная величина X по распределению вероятностей обозначается M(X).

Количественно вычисляется по формуле M(X)=

Справедливы следующие свойства математического ожидания

1. M(C) = C (C – некоторая константа)

2. M(CX) = CM(X)

3. M(X Y) = M(X) M(Y)

4. M(XY) = M(X)M(Y)

Задача № 10

Найти среднее значение числа выпавших «орлов» при 3-х разовом подкидывании монетки.

Воспользуемся результатами задачи 9. Из таблицы к задаче 9 можно вычислить

M(X) = =

Дисперсия D(X) – важнейшая числовая характеристика случайной величины X.

D(X) характеризует разброс случайной величины вокруг среднего значения.

D(X) = M(X – M(X))²

Здесь [X – M(X)] – отклонение случайной величины X от M(X). Так как X может отклоняться и в большую, и в меньшую сторону от M(X), то для количественного оценивания D(X), чтобы не учитывать знак, рассматривают «квадрат отклонения».

Удобно пользоваться формулой:

D(X) = M(X²) – [M(X)]²

Рассмотрим свойства дисперсии:

1. D(C) = 0

2. D(CX) = C2D(X)

3. D(X+Y) = D(X) + D(Y)

Задача № 11

Вычислить D(X) для случайной величины X – случайного выпадения числа «орлов» при 3-х разовом подкидывании монетки.

Воспользуемся результатами решения задачи 9. Так как X распределена в соответствии с таблицей к задаче 9,то X2 расположена так же, т.е.

Xi2	0	1	4	9
Pi	1/8	3/8	3/8	1/8

M(X2) = 0 * +

D(X) = M(X2) – [M(X)]² = 3 –

– среднеквадратичное отклонение.

Это числовая характеристика введена для вычисления разброса (отклонения) в той же размерности, что и сама случайная величина X.

Задача № 4

4.1. Случайные величины непрерывного типа

Если случайная величина X имеет всюду непрерывно дифференцируемую функцию распределения F(X), то такая случайная величина X называется непрерывной.

F(X)=p(x) Производная от F(X) называется плотностью распределения вероятности.

Непрерывная случайная величина X может быть задана и через функцию распределения, и через ее производную. Очевидно, что

Так как p(x) – это производная от F(X), то F(X)= .

Задача № 12

Плотность распределения непрерывной случайной величины X задана

Найти А, F(X) и P

Построим график функции

Для того чтобы распределение было корректно, необходимо чтобы площадь S заштрихованной фигуры равнялась бы 1. Тогда,

Построим F(X)

X	0	1	2
F(X)	0	11/16	1