17. Кут між двома прямими, а також прямою і площиною в . Паралельність і перпендикулярність прямих і площин.

Під кутом між двома прямими в розуміють кут, що утворюють їх напрямні вектори і :

. (17.1)

II

I

Рис.16

Тому прямі паралельні, якщо їх напрямні вектори і паралельні, тобто

(17.2)

Відповідно прямі перпендикулярні, якщо перпендикулярні їх напрямні вектори і :

. (17.3)

Кутом між прямою і площиною називається один із суміжних кутів або , утворених даною прямою та її проекцією на цю площину.

Нехай площину і пряму задано відповідно рівняннями

і .

Тоді кути, утворені прямою і площиною, визначаються за формулою

. (17.4)

Рис.17

Відповідно площа і пряма паралельні, якщо

(17.5)

і перпендикулярні, якщо

(17.6)

Криві другого порядку.

Загальне рівняння кривої другого порядку, що лежить у площині , має вигляд

де xoча б одне з чисел відмінно від нуля.

Виявляється, що всі криві другого порядку можна поділити на кола, еліпси, гіперболи, параболи та їхні виродження - точки або прямі.

18. Еліпс.

Еліпсом називається геометричне місце точок площини, сума відстаней кожної з яких від двох заданих точок цієї самої площини, що називаються фокусами, є величиною сталою і більшою, ніж відстань між фокусами.

Нехай на площині дано дві точки і , що називаються фокусами еліпса. Систему координат розмістимо так, щоб вісь абсцис проходила через ці точки, а вісь ординат ділила відстань між ними навпіл.

Позначимо відстань між фокусами еліпса через , тоді , а . Величина називається фокальною відстанню. Знайдемо геометричне місце точок, сума відстаней від кожної з яких до даних точок і стала і дорівнює .

Візьмемо довільну точку площини . Позначимо відстань її до точок і відповідно через і . Точка буде точкою еліпса, якщо , де і - фокальні радіуси точки еліпса. За формулою відстані між двома точками маємо , .Тоді дістаємо

Це рівняння є аналітичним рівнянням еліпса, але після деяких перетворень в ньому можна звільнитися від ірраціональності і звести до вигляду

, (18.1)

де позначено . Рівняння (18.1) називається канонічним рівнянням еліпса.

Тепер фокальні радіуси точки еліпса дістають значення

Рис.18

Властивості еліпса:

1. Із рівняння (18.1) випливає, що тобто еліпс є обмеженою кривою.

2. Із рівняння (18.1), яке має поточні координати у парних степенях, дістаємо, що коли точка належить еліпсу, то і точки також належать еліпсу. Отже, еліпс має вертикальну та горизонтальну осі симетрії, а також центр симетрії (в канонічній системі координат це осі та початок координат).

3. Еліпс перетинає осі симетрії у точках , які називаються вершинами еліпса . Для (18.1) це точки Величини і називаються відповідно великою та малою осями еліпса, а - напівосями.

4. Якщо у рівнянні (18.1) (тобто ), то дістанемо рівняння кола з центром у початку координат і радіусом . Таким чином , коло – уе еліпс, у якого фокуси збігаються з центром симетрії.

5. Для характеристики еліпса вводять відношення яке називається ексцентриситетом і характеризує відхилення еліпса від кола – степінь його “витягнутості”. Для кола для еліпса

6. Прямі назиаються директрисами еліпса. Оскільки то тобто директриси еліпса лежать поза ним. Характерна особливість директрис полягає в тому, що відношення фокального радіуса будь-якої точки еліпса до відповідної відстані до директриси є величиною сталою, що дорівнює ексцентриситету еліпса: