19. Гіпербола

Гіперболою називається геометричне місце точок площини, модуль різниці відстаней кожної з яких до двох даних точок, що називаються фокусами, є величиною сталою і меншою за відстань між фокусами.

Використаємо прямокутну систему координат і позначення з п.18. Тоді рівняння гіперболи можна записати у вигляді

причому

Згідно з формулами

рівняння гіперболи можна подати у вигляді

Внаслідок перетворень останнього рівняння знаходимо

, (19.1)

де

Рівняння (19.1) називається канонічним рівнянням гіперболи.

Гіпербола складається з двох гілок. Ліва гілка лежить у півплощині а права – у площині

Рівняння фокальних радіусів точки гіперболи знаходять так само, як і для еліпса. Дл лівої гілки гіперболи ці рівняння мають

вигляд

а для правої

Рис.19

Властивості гіперболи:

1. З рівняння (19.1) випливає, що гіпербола є необмеженою кривою.

2. Канонічне рівняння гіперболи має поточні координати у парних степенях, отже, гіпербола, як і еліпс, має дві осі симетрії і центр симетрії (для (19.1) це осі та початок координат).

3. Гіпербола перетинає лише одну з осей симетрії. Ці дві точки називаються вершинами гіперболи. Для (19.1) це

4. Гіпербола має дві асимптоти – прямі, що проходять через центр симетрії гіперболи і кути основного чотирикутника із сторонами (дійсна вісь ) і (уявна вісь гіперболи).

5. Ексцентриситет гіперболи

6. Прямі називаються директрисами гіперболи. Вони мають ту саму властивість, що й для еліпса, тобто

20. Парабола

Нехай на площині дано точку і пряму яка не проходить через Геометричне місце точок площини, рівновіддалених від фіксованої точки та фіксованої прямої називається параболою. Точка називається фокусом, а пряма - директрисою.

Візьмемо таку систему кординат , щоб вісь абсцис проходила через фокус перпендикулярно до прямої а вісь ординат ділила відстань між фокусом і директрисою навпіл. Відстань між фокусом і директрисою параболи позначимо через За означенням тоді точка має координати а рівнянням директриси є

Нехай - довільна точка площини. Точка , за означенням, буде точкою параболи тоді і тільки тоді, коли

Знаходимо

Отже,

або

(20.1)

Рівняння (20.1) називається канонічним рівнянням параболи.

Рис.20

Властивості параболи:

1. Парабола є необмеженою кривою.

2. Парабола має лише одну вісь симетрії ( для (20.1) – це вісь абсцис).

3. Парабола має одну вершину (для (20.1) вона лежить в початку координат).

Література

1. М.Бугір. Математика для економістів.Лінійна алгебра, лінійні моделі. – К.: “Академія”, 1998.

2. І.П.Васильченко.Математика для економістів. – К.: “Знання”, 2004.

3. П.П.Овчинников, Ф.П.Яремчук, В.М.Михайленко. Вища математика. Частина 1. – К.: “Техніка”, 2000.

4. А.С.Солодовников, В.А.Бабайцев, А.В.Браилов. Математика в экономике. – М.: “Финансы и статистика”, 1999.

33