![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Міністерство освіти та науки України одеський національний університет ім.І.І.Мечнікова
- •Методичні вказівки з курсу “Вища математика. Ч.I: Лінійна алгебра і аналітична геометрія” для студентів 1-го курсу епф
- •Одеса 2006
- •Лінійна алгебра
- •Лінійна алгебра
- •1.Метод Гаусса розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь
- •2. Матриці і дії над ними.
- •3. Визначники та їх основні властивості.
- •Правило Крамера для розв`язування систем лінійних рівнянь.
- •Обернена матриця. Матричний спосіб розв`язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.
- •Ранг матриці. Теорема Кронекера-Капеллі.
- •7. Лінійні векторні простори.
- •8.Лінійна залежність векторів.
- •Скалярний добуток двох векторів.
- •Векторний добуток двох векторів в .
- •Змішаний добуток трьох векторів в
- •Аналітична геометрія
- •12. Рівняння прямої на площині.
- •13. Кут між двома прямими на площині. Умови паралельності і перпендикулярності двох прямих.
- •Площина в просторі .
- •15. Кут між двома площинами. Умови паралельності і перпендикулярності площин в
- •16. Пряма лінія у тривимірному просторі.
- •17. Кут між двома прямими, а також прямою і площиною в . Паралельність і перпендикулярність прямих і площин.
- •Криві другого порядку.
- •19. Гіпербола
- •20. Парабола
- •Література
Лінійна алгебра
1.Метод Гаусса розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Нехай задано систему лінійних рівнянь
(1.1)
в якій
коефіцієнти
і
вільні члени
- відомі , а
- невідомі. Розв`язати
систему (1.1) – це означає знайти
впорядковану сукупність чисел
таку, що при заміні
відповідно на
кожне рівняння перетворюється на
тотожність.
Система рівнянь (1.1) може мати єдиний розв`язок, безліч розв`язків, а може не мати жодного розв`язку.
Серед цих рівнянь можуть бути такі, що
(1.2)
Якщо
,
то рівняня (1.2) не задовільняють ніякі
значення
.
В цьому разі система не має розв`язку,
вона несумісна.
Якщо
,
то рівняння (1.2) задавольняють будь-які
значення
,.
При цьому вираз (1.2) називають тотожністю
і записують
.
Тотожність можна вилучити із системи.
При цьому решта рівнянь утворює систему,
яка матиме ті самі розв`язки, що і (1.1).
Такі системи лінійних рівнянь називаються
рівносильними.
Над системами лінійних рівнянь виконують так звані елементарні перетворення:
а) додавання до обох частин рівняння відповідних частин іншого рівняння;
б) перестановку рівнянь у системі;
в) вилучення із системи тотжності ;
г) множення якого-небудь рівняння системи на дійсне число, відмінне від нуля;
д) перенумерування як рівнянь, так і невідомих.
Елементарні операції не змінюють множину розв`язків системи лінійних рівнянь.
Множину всіх розв`язків системи називають загальним розв`язком, а будь-який елемент цієї множини – частинним розв`язком.
Для винаходження загального розв`язку системи (1.1) існує простий і зручний метод Гаусса. Він заснований на тому, що за допомогою елементарних перетворень (1.1) або переконуємося у її несумісності, або одержуємо систему особливого виду: кожне рівняння має невідому, яка надходить до цього рівняння з ненульовим коефіцієнтом, а до інших рівнянь – з коефіцієнтом 0. Якщо в кожному рівнянні зафіксована така невідома, вона називається базисною ( всі базисні невідомі утворюють базис невідомих), інші невідомі (якщо такі є) називаються вільними.
Приклад
1.
(1.3)
Тут
- базисні невідомі,
- вільні. Загальний розв`язок
системи (1.3) одержимо після
того, як перепишемо (1.3) у виді:
Очевидно, за наявністю хоча б однієї вільної невідомої система має безліч розв`язків. Якщо ж вільних невідомих немає, розв`язок тільки один.
Метод
Гаусса (черговий
й
крок) :
Вилучаємо із системи, що одержали після
попередніх кроків, рівняння . Якщо в системі, що залишилася, є хоча б одне рівняння виду (1.2) при , система несумісна.
Якщо таких рівнянь немає, обираємо як ключове одне з тих рівнянь, що у попередніх кроках ще не були ключовими, і за ключову одну з невідомих – таку, при якій у ключевому рівнянні ненульовий коефіцієнт (ключовий елемент).
Із всіх рівнянь, окрім ключового, вилучаємо ключову невідому. Для цього до кожного з таких рівнянь додаємо ключове рівняння, помножене на придатне число.
Процес закінчується тоді, коли всі рівняння перебували в ролі ключового. Тоді із системи, що отримали, легко знаходиться розв`язок.
Приклад
2. Розв`язати
методом Гаусса систему рівнянь
.
Розв`язання.
Складаємо таблицю із коефіцієнтів при
невідомих і вільних членів рівнянь
системи. Дужками позначаємо ключовий
елемент, за допомогою якого занулюємо
інші елементи ключового стовпця
(відповідні перетворення
записуємо поряд з рядками, наприклад:
означає,
що до четвертого рядка додається
другий(ключовий), помножений на
.
Рядки таблиці, що містять лише нульові елементи і відовідають рівнянням 0=0, вилучаємо . Алгоритм метода Гаусса вичерпан, тому що залишилися рядки, які вже були ключовими. Записуємо відповідні рівняння і загальний розв`язок вихідної системи:
.
Будь-який
частинний розв`язок
одержуємо із загального, коли надаємо
вільним невідомим певних значень,
наприклад: при
маємо частинний розв`язок
Приклад
3. Розв`язати
методом Гаусса систему
.
Розв`язання.
Приклад
4.
Розв`язання.
Очевидно,
що система несумісна тому, що останньому
рядку відповідає рівняння
,
яке не має розв`язків.
Зауваження 1. Частинний розв`язок, у якому всі вільні невідомі дорівнюють нулю, називають базисним.
Зауваження
2. Система (1.1) при нульових
вільних членах
навається однорідною
системою лінійних рівнянь. Очевидно,
що будь-яка однорідна система завжди
сумісна – вона має принаймні один
розв`язок