7. Лінійні векторні простори.

У повсякденному житті ми маємо справу з величинами різних типів. Наприклад, є скалярні величини, які задаються одним числом (температура, довжина, вага), а інші - сукупністю чисел (погода характеризується температурою, відносною вологістю і тиском; сила, прикладена до певної точки, - величиною і напрямком, норми витрати ресурсів – кількістю одиниць відповідного ресурсу: різних видів сировини, устаткування, робочої сили, палива тощо).

Впорядкована сукупність чисел називаюь вимірним вектором , а самі числа сукупності – його координатами.

Безпосередній геометричеий зміст мають лише 1-,2-,3-вимірні вектори, що зображуються напрямленим відрізком на числовій прямій, на площині або у координатному просторі відповідно, у якого один кінець (точка ) називається початком вектора, а другий кінець (точка ) – кінцем вектора. Наприклад, якщо і - початок і кінець вектора , координати самого вектора обчислюються за формулами .

Величина називається модулем вимірного вектора . При (на площині і у 3-вимірному просторі) модуль вектора – це його довжина, тому будемо надалі ототожнювати ці поняття для довільного виміру простору.

Два вектори рівні між собою тоді і тільки тоді, коли рівні між собою їхні відповідні координати.

Лінійні операції над векторами.

Вектор можна розуміти як матрицю, що складається з одного рядка або стовпця, і тому на множині векторів однакового вимірювання визначені операції множення вектора на скаляр та додавання двох векторів:

добуток вектора на дійсне число ;

сума векторів та .

Операції множення вектора на скаляр та додавання векторів дають змогу ввести поняття лінійого векторного простору, який позначається Для елементів цього простору виконуються такі властивості:

1. Якщо і , то

2. Комутативність операції додавання:

3. Асоціативність додавання:

4. Існування нульового вектора такого, що

5. Існування протилежного вектора:

6. Якщо і то

7. Дистрибутивність множення: і

8. Асоціативність множення:

9. Існування одиниці:

8.Лінійна залежність векторів.

Нехай задано вектори Тоді вектор

називається лінійною комбінацією цих векторів з коефіцієнтами

Якщо для даних векторів числа , принаймні одне з яких відмінно від нуля, можна дібрати такими, що лінійна комбінація дорівнює нулю, то дані вектори називаються лінійно залежними, а якщо означена лінійна комбінація дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли , то лінійно незалежними.

Вектори утворюють базис векторного простору , якщо довільний ветор з цього простору можна зобразити їх лінійною комбінацією.

Максимальна кіькість лінійно незалежних векторів простору називається вимірністю цього простору і позначається .

Приклад 1. Показати, що вектори і лінійо залежні.

Розв`язання . Складемо лінійну комбінацію векторів:

і з`ясуємо, при яких виконується рівність .

Це векторне рівняння рівносильне системі рівнянь , яка має безліч розв`язків , серед яких є зокрема Тому за означенням вектори лінійно залежні.

Деякі властивості лінійної залежності векторів.

1. Система із векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один із цих векторів є лінійною комбінацією решти векторів.

2. Якщо частина векторів системи лінійно залежні, то і вся система лінійно залежна.

3. Система векторів, що містить нуль-вектор, лінійно залежна.

4. Якщо система векторів лінійно незалежна, а система

лінійно залежна, то вектор є лінійною комбінацією векторів .

Вектори і називаються колінеарними, якщо або . В координатному вигляді колінеарність означає пропорціональність відповідних координат векторів .

Очевидно, що колінеарність двох векторів еквівалентна їх лінійній залежності.

Нехай система із трьох векторів в лінійно залежна:

. Якщо ці вектори мають спільний початок, то із цього співвідношення виходить, що вони належать до однієї площини:

Рис.1

Три вектори в , що належать до однієї площини або паралельні до однієї площини, називаються компланарними. Можна довести, що три вектори в є лінійно залежними тоді і тільки тоді, коли вони компланарні.

В вимірному просторі будь-яка система із векторів, де , є лінійно залежною.

Приклад 2. Перевірити, що вектори некомпланарні.

Розв`язання. Складемо лінійну комбінацію даних векторів і прирівняємо її до нуля:

.

Легко перевірити, що ця система рівнянь має єдиний розв`язок і тому вектори лінійно незалежні і відповідно некомпланарні.

Приклад 3. Вектори в лінійно незалежні тому, що їх кількість більше 3.