25. Теорема Дедукции.

Она является метатеоремой, т.к. формулируется на метаязыке.

Пусть Г – множество формул исчисления высказываний L. А и В – некоторые формулы. Пусть из множества Г и формулы А выводится В. Г,А|-В. Тогда из Г|-A->В. В частности, при пустом Г из выводимости В из А следует теорема: |-А->В

Доказательство:

Теорему дедукции будем доказывать по индукции. Пусть из множества формул Г и формулы А выводится В, Г,А|-В, значит существует цепочка формул A1..An, причем An=В. Формулы Ai или принадлежат Г или совпадают с А или являются аксиомами или получены из предыдущих по правилу вывода. Покажем, что верно утверждение Г|-A->A. Рассмотрим базис индукции i=1, тогда А1 может быть:

1. аксиома

2. принадлежать Г

3. совпадать с формулой А

В первой и 2 случае поступаем следующим образом: в схему аксиом А1 подставляем вместо А:=А1, вместо В:=А. Получаем А1->(A->A1). Это соответственно получается аксиома по А1. Т.к. А1 или аксиома или принадлежит Г, то А1 есть. По МР А1->(A->A1),A1|-A->A1. 3-й случай: А1=А. Т.к. А->A выводима, то она выводима и из Г, Г|-A->A. Рассмотрим индуктивный переход. Предположим, что предположение индукции доказано для любого i<k. Рассмотрим формулу Ак. Формула Ак как и А1 может быть аксиомой, принадлежать Г, совпадать с А и быть полученной по правилу вывода из формул Ai,Aj, где I и j <k. В случаях 1-3 рассуждения аналогичны базису индукции. Рассмотрим 4-й случай. То что Ак получена по МР из Аi Aj означает, что Ai=Aj->Ak. Сделаем подстановку в схему аксиом А2. А2: А=А, В=Ai, С:=Ак.

Получаем (A->(Ai->Ak))->((A->Ai)->(A->Ak))*. По предположению индукции из Г|-A->Aj. С учетом того, что есть Aj: Г|-(A->(Ai->Ak))**. По МР из подстановки А2 получаем: MP*,**: (A->Ai)->(A->Ak)***. По предположению индукции А->Ai выводимо. Из А->Ai по МР***,A->Ai получаем А->Ak. Так индуктивный переход доказан, следовательно доказана и сама теорема дедукции.

26. Следствие теоремы дедукции.

Следствие 1.

Если из Г|-A->B и Г|-B-C, то Г|-A->C

Доказательство: из Г и А, А->B и B->C выводима А->C. По МР получаем формулу В: А, A->B|-B. Есть В, есть B->C, MP: B, B->C|- C, тогда по теореме дедукции из Г, A->, B->C |- A->C.

Следствие 2.

Если A->B->C и есть В то выводима А->C. Покажем, что из A->(B->C),A,B|-C. Из MP A->(B->C),A|-B->C, MP: B->C,B |- C => |-C, тогда по теореме дедукции имеем право перенести 1 из формул в правую часть, A->(B->C),B|-A->C.

Следствие 3.

Если из множества A1..An |-C, то выводима формула A1->(A2->(…An->C)…))). Для доказательства последовательно применяем теорему дедукции и переносим формулы Ai вправо от знака выводимости.

27. Теорема о полноте.

Множество тавтологий логики высказываний совпадает с множеством теорем исчисления высказывания L, т.е. формула является теоремой в исчислении высказываний тогда и только тогда, когда она является тавтологией в логике высказываний.

Доказательство только в одну сторону. Докажем, что если формула теорема, то она обязательно тавтология. Вначале проверяем то, что схемы аксиом тавтологии. Проверяем таблицы истинности. Новые формулы получаем из аксиом, используя МР. По МР из тавтологии можно получить только тавтологию.

A B A->B

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

Любая формула, которая получается из аксиом по МР является тавтологией.

Доказательство в обратную сторону о том, что если формула тавтология, то она теорема довольно громоздкое, использует интерпретации специального вида.