18. Логика высказываний. Исчисление высказываний.

Простое высказывание. Математическая логика основана именно на этом понятии. Простое высказывание – утверждение, про которое можно сказать, истинно оно или ложно при данных условиях. Из простых высказываний с помощью логических связок строятся составные высказывания.

Интерпретация – сохраняющее значение логических операций, сопоставление каждому высказыванию одного из значений истина или ложь. Сохраняющее операции – мы интерпретируем как истина и ложь простые высказывания, а об истинности составных высказываний судим по результатам вычисления логических связок. Часто рассматривают формальные системы высказывания, обладающие заданным алфавитом, системой аксиом и правилом вывода. Такие формальные аксиоматические теории будем называть исчисление высказываний.

Классические задачи исчисления высказываний.

1. Поиск такой интерпретации исчисления высказываний, при которой значение заданных высказываний известны, например задано, что какое-то составное высказывание истинно или ложно, тогда подбираем значение остальных простых высказываний так, чтобы достичь требуемых значений составных высказываний. Сюда относят задачи об определении преступника на основе показаний, достоверность которых установлена.

2. Определение содержательной истинности высказываний, т.е. определение является ли высказывание истинным при любой интерпретации. Фактически – доказательство теорем.

3. Определение истинности высказывания при условии истинности дополнительных предположений или гипотез. Пример: Есть высказывание, что любая частично-рекурсивная функция вычислима на машине Тьюринга. Есть гипотеза о том, что любая вычислимая функция является частично рекурсивной. Следовательно, при истинности гипотезы истинно утверждение, что любая вычислимая функция вычислима на машине Тьюринга.

В логике высказываний принято выделять 2 языка: объектный и метаязык, которые связаны с теорией и метатеорией. Каждая конкретная формальная аксиоматическая теория является теорией, тогда как сама дисциплина логика высказываний, изучающая различные исчисления высказываний является метатеорией. В рамках теории и исчисления используется объектный язык, который представляет собой формальный язык пропозициональных форм, иначе говоря правильно построенных фраз в алфавите рассматриваемого исчисления. В рамках исчисления нет ничего кроме преобразования одних фраз языка в другие посредством имеющихся операций, т.е. правил вывода. Тогда как в рамках метатеории используется обычный неформальный язык математики, т.е. смесь естественного языка, специальных терминов и математических обозначений. Всевозможные теоремы, которые упрощают вывод в рамках исчисления высказываний, сформулированы и доказаны на метаязыке, относятся к метатеории. В частности, такая теорема – теорема дедукции, значимость которой подчеркивает метатеорема дедукции.

19. Система представления знаний

Рассмотрим логическую систему представления знаний, будем использовать символы высказываний и символы формул и символы логических связок. Высказывания будем обозначать заглавными латинскими буквами, значения истина или ложь будем обозначать И и Л или 1 и 0. Есть логические связки, соответственно отрицание «-», ~А, разнесли операцию и операнд по разным позициям, конъюнкция - &, дизъюнкция – V, импликация – ->, эквивалентность ==. Набор их связок избыточен, в дальнейшем будем пользоваться следующей полной системой логических связок – отрицание и импликация. Выразим остальные логические связки.

А&B=~(A->~B)

AVB=~A->B

A==B=(A->B)&(B->A)

Дадим определение формулы. Все препозиционные символы, символы, обозначенные заглавными буквами, являются формулами. Если А и В – формулы, то ~A, A->B тоже формула. Других формул нет. Формула называется тавтологией, если она истинна при всех значениях препозиционных символов, в нее входящих.

Формула называется тавтологией (общезначимой), если она истина при всех значениях препозиционных переменных, в нее входящих. Если А->B тавтология то говорят, что В логически следует из А. Если А==В тавтология, то говорят, что А и В логически эквивалентны. Если А и А->B тавтологии, то и В тоже тавтология по таблице истинности. Пусть дана формула, в которую входят препозиционные символы А1, А2 .. Аn, тогда при любой подстановке вместо символов Аi некоторых формул В1, В2, .. Вn соответственно, формула останется тавтологией.