- •1. Понятие интеллектуальной системы и искусственного интеллекта
- •2. Подходы к пониманию ии(1)
- •3. Подходы к пониманию ии(2)
- •4. Существует 2 подхода разработкии ии(1)
- •5. Существует 2 подхода разработкии ии(2)
- •6. Существует 2 подхода разработкии ии(3)
- •7. Существует 2 подхода разработкии ии(4)
- •8. Понятие знаний.
- •9. Свойства знаний
- •10. Виды знаний.
- •11. Деятельность инженера по знаниям.
- •13. Современные области исследований в ии.
- •14. Продукционные системы. Представление знаний.
- •15. Рассмотрим структуру продукционных систем.
- •16. Прямой вывод
- •16. Обратный вывод
- •17. Вывод в ширину и в глубину
- •Пропускаем и или деревья
- •18. Логика высказываний. Исчисление высказываний.
- •19. Система представления знаний
- •20. Формальные аксиоматические теории (фат).
- •21. Свойства выводимости.
- •Свойства выводимости.
- •22. Понятие логического следования.
- •23. Дерево доказательств
- •24. Исчисление высказываний l.
- •25. Теорема Дедукции.
- •26. Следствие теоремы дедукции.
- •27. Теорема о полноте.
- •Следствия теоремы о полноте.
- •28. Закон снятия двойного отрицания и вывод из противоречивых гипотез.
- •29. Теорема опровержения гипотезы.
- •30. Закон снятия двойного отрицания.
- •31. Вывод на основе противоречия.
- •32. Независимость системы аксиом исчисления высказывания l.
- •34. Выводимость на основе противоречия. Приведение к кнф.
- •35. Понятие резольвенты.
23. Дерево доказательств
Для описания производных правил введем понятие дерево доказательств. Дерево доказательства определим рекурсивно:
Деревом доказательства является пустое дерево, состоящие только из корня аксиоматической секвенции.
Пусть Т1 .. Тк деревья доказательства с корнями R1 .. Rk. Тогда (Т1 .. Тк)/S – дерево доказательства, где S некоторая секвенция, если S может быть получено из R1 .. Rk с помощью 1 из правил вывода. Корнем такого дерева является S.
E|-F следует из множества формул Е и формула E|-К можно утверждать, что из множества Е|-F&K. Мы можем построить следующую цепочку, рассмотрим Е в качестве формул множества G. Т.к. E|-F&K следует что E|-F&K&U, тогда мы сокращенно записываем т.к. E|-F и E|-K следует E|-F&KVU. Рассмотрим пример 1 из правил вывода, пусть из множества {q,r}|-p при этом из {pVq,r}|-~q, это значит что из определенного множества {q,r,pvq}|-p&~q. Здесь p q r уже некоторые конкретные формулы.
Рассмотрим ряд простых секвенций, часто используемых в логике высказываний. Их еще часто называют дедуктивными правилами вывода для высказываний.
Modus Ponendo Ponens или MP и это основное правило вывода в рамках любого исчисления высказываний. Это больше секвенция. (P->Q, P)/Q или P->Q,P|-Q.
Modus Tollento Tollens если из Р следует Q и при этом Q ложно то и Р ложно. P->Q,~Q / ~P или P->Q, ~Q|-P
Modus Ponendo Tollens если P и Q не могут быть истинными при этом P истинно то Q ложно. ~(P&Q),P / ~Q или ~(P&Q), P |- ~Q
Modus Tollento Ponens сначала формально: PvQ, ~P / Q или PvQ, ~p |-Q если либо P или Q является истинным и P не истинно, то истинно Q. Правило включающего или. Сама формулировка или или наталкивает использование исключающего или. Это тот случай, когда неопределенность, содержащаяся в естественном языке искажает смысл правила умозаключений, тогда как все становится предельно понятным в формульной записи.
24. Исчисление высказываний l.
Исчисление высказываний L является формальной аксиоматической теорией для логики высказываний. Понятие формулы задается по аналогии с уже рассмотренным, т.е. есть алфавит, состоящий из заглавных латинских букв A B C, есть (), есть связь –> not. Если А и В формулы, то (~A|B) тоже формула. Для упрощения записи часто не пишем (). В частности не имеет смысл писать скобки вокруг отрицания, вообще внешние скобки формулы, при этом они присутствуют. Выделены следующие аксиомы, точнее схемы аксиом.
(A1) A->(B->A)
(A2) A->(B->C)->((A->B)->(A->C))
(A3) (~B->~A)->((~B->A)->B)
Здесь А В и С – произвольные формулы, поэтому каждая из схем описывает бесконечное множество аксиом. Если бы мы считали их непосредственно аксиомами, нам бы пришлось вводить правило подстановки. В исчислении высказываний L используется правило вывода MP. A->B,A => B или A->B, A|-B
При любых А В и С схемы аксиом являются тавтологиями, что легко проверить, построив таблицу истинности. Кроме того, схемы аксиом выбраны так, чтобы множество теорем в исчислении высказывания L совпадало со множеством тавтологий логики высказываний. Полностью это утверждение будет сформулировано в виде теоремы о полноте, которую рассмотрим позднее.
Лемма: |-A->A или для любой формулы А формула А->A является теоремой исчисления высказываний L. Построим цепочку вывода:
В схеме аксиом А1 : заменяем В на А, В:=А Получаем формулу A->(A->A)
A2: проводим замену А:А, В заменяется В:=А->А С:=А
Получаем (A->((A->A)->A))->(A->(A->A))->(A->A))
В схему аксиом А1 подставим А:=А В:=А->А Получаем A->((A->A)->A)
Сравниваем 2 и 3-ю формулы, видим общую часть. По правилу МР получаем 2-ю часть формулы 2: ((A->(A->A))->(A->A)).
Сравниваем 4-ю формулу и 1, по МР получаем A->A.