- •Академия управления
- •Содержание
- •Часть I. Задачи по теории вероятностей 4
- •Глава 1. События и вероятности 4
- •Часть I. Задачи по теории вероятностей Глава 1. События и вероятности
- •1.1 Элементы комбинаторики
- •1.2 Пространство элементарных событий. Полная группа событий. Операции над событиями
- •Задачи.
- •1.3 Задачи на классическое определение вероятности и гипергеометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение (урновая схема)
- •Задачи.
- •1.4 Геометрические вероятности
- •Задачи.
- •1.5 Формулы сложения и умножения вероятностей
- •Понятия:
- •Формулы умножения вероятностей.
- •Формулы сложения вероятностей.
- •Задачи.
- •1.6 Формула полной вероятности и формула Байеса
- •1. Формула полной вероятности
- •2. Формула Байеса
- •Задачи.
- •1.7 Схема Бернулли. Предельные теоремы для схемы Бернулли
- •5. Локальная теорема Муавра-Лапласа.
- •Задачи.
- •Глава 2. Случайные величины и законы их распределения
- •2.1 Законы и функции распределения случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия
- •Задачи.
- •2.2 Важнейшие распределения: биномиальное, Пуассона, показательное, равномерное и геометрическое
- •Задачи.
- •2.3 Нормальное распределение и его свойства
- •Задачи.
- •2.4 Двумерные случайные величины. Совместная функция и плотность распределения случайных величин
- •5. Вероятность попадания в прямоугольную область:
- •Задачи.
- •Часть II. Математическая статистика Глава 3. Доверительные интервалы
- •3.1 Доверительные интервалы при известной и неизвестной дисперсии
- •Задачи.
- •Глава 4. Проверка статистических гипотез
- •4.1 Сравнение дисперсий
- •4.1.1 . Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •Задачи.
- •4.1.2. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности
- •Задачи.
- •4.2 Сравнение средних генеральных совокупностей
- •4.2.1. Сравнение двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (большие независимые выборки)
- •Задачи.
- •4.2.2. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки.
- •Задачи.
- •4.2.3. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности
- •Задачи.
- •Задачи.
- •Глава 5. Элементы теории корреляции
- •Задачи.
- •1. Найти коэффициент корреляции между величинами X и y, совместный закон распределения которых задан следующей таблицей:
- •Глава 6. Цепи Маркова
- •6.1 Цепи Маркова с дискретным временем
- •Задачи.
- •6.2 Цепи Маркова с непрерывным временем
- •Уравнение Колмогорова
- •Финальные вероятности состояний системы.
- •Задачи.
- •6.3. Задачи на использование схемы гибели и размножения
- •Задачи.
- •Глава 1.
- •1.1 Элементы комбинаторики.
- •1.3 Классическое определение вероятности и урновая схема.
- •1.4 Геометрические вероятности.
- •1.5 Формулы сложения и умножения вероятностей.
- •1.6 Формула полной вероятности и формула Байеса.
- •1.7 Схема Бернулли. Предельные теоремы для схемы Бернулли.
- •Глава 2.
- •2.1 Законы и функции распределения случайных величин.
- •2.2 Важнейшие распределения.
- •2.3 Нормальное распределение и его свойства.
- •2.4 Двумерные случайные величины.
- •Глава 3.
- •3.1 Доверительные интервалы при известной и неизвестной дисперсии
- •Глава 4.
- •4.1 Сравнение дисперсий.
- •4.2 Сравнение средних генеральных совокупностей.
- •Глава 5. Элементы теории корреляции.
- •Глава 6.
- •6.1 Дискретные цепи Маркова.
- •Непрерывные цепи Маркова.
- •Задачи на использование схемы гибели и размножения.
- •Приложения
6.2 Цепи Маркова с непрерывным временем
Краткие теоретические сведения.
Марковский случайный процесс называется цепью Маркова с непрерывным временем, если переходы системы из состояния в состояние происходят не в фиксированные, а в случайные моменты времени. Время наступления событий часто предсказать заранее невозможно.
Условие нормировки , где вероятность того, что в момент времени система будет находиться в состоянии .
Для процесса с непрерывным временем вместо переходных вероятностей используются плотности вероятностей перехода , где - вероятность того, что система, пребывавшая в момент времени t в состоянии , за время перейдет в состояние .
Уравнение Колмогорова
Уравнение Колмогорова составляют по размеченному графу состояний системы, пользуясь правилом: производная вероятности каждого состояния равна сумме всех потоков вероятности, идущих из других состояний в данное состояние, минус сумма всех потоков вероятности, идущих из данного состояния в другие.
Для решения системы уравнений Колмогорова необходимо задать начальное распределение вероятностей
Финальные вероятности состояний системы.
Если процесс, протекающий в системе, длится достаточно долго, то имеет смысл говорить о предельном (финальном) поведении вероятностей при , т.е.
,
Говорят, что в системе устанавливается предельный стационарный режим, при котором она переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний уже не меняются во времени.
Финальные вероятности системы получаются путем решения системы линейных алгебраических уравнений, которые получаются из дифференциальных уравнений Колмогорова, если приравнять производные к нулю, а вероятности функции состояний в правых частях уравнений заменить на неизвестные финальные вероятности . Для нахождения их точных значений к уравнениям добавляют нормировочное уравнение
Получаемые в результате предельные вероятности представляют собой среднее относительное время пребывания системы в каждом из состояний.
Задачи.
С истема s может находиться в одном из четырех состояний , размеченный граф которых имеет вид
Требуется:
а) Записать для данной системы уравнения Колмогорова;
б) Получить систему алгебраических уравнений для определения вероятностей состояний системы в стационарном режиме (финальных вероятностей);
в) Оценить вероятности состояний системы в стационарном режиме при
2. Среднее время безотказной работы компьютера равно , поток отказов (сбоев) – простейший с параметром . При сбоях компьютер останавливается и неисправность устраняется. Среднее время устранения неисправности равно ; поток восстановления компьютера – также простейший с параметром . Определить вероятность того, что компьютер в момент времени t будет работать, если он в момент работал.
3 . Техническое устройство состоит из двух узлов и может находиться в следующих состояниях:
S0 – оба узла исправны;
S1 – первый узел ремонтируется, второй - исправен;
S2 – второй узел ремонтируется, первый - исправен;
S3 – оба узла ремонтируются.
Граф состояний системы имеет вид
Требуется:
а) написать систему уравнений для финальных вероятностей;
б) решить систему для ;
в) оценить время нахождения системы в состояниях ;
г) оценить среднюю эффективность работы системы, если в полностью исправном состоянии система приносит в единицу времени доход 8 у.е., в состоянии - 3 у.е., в состоянии - 5 у.е. и в состоянии - вообще не приносит.
4. Данные, полученные при исследовании рынка ценных бумаг, показали, что рыночная цена одной акции акционерного общества А открытого типа может колебаться в пределах от 1 до 10 д.е. включительно. Рассматривая в качестве системы S одну акцию этого акционерного общества, будем интересоваться следующими четырьмя состояниями этой системы, характеризующимися рыночной ценой акции:
- от 1 до 4 д.е.,
- от 4 до 7 д.е.,
- от 7 до 9 д.е.,
- от 9 до 10 д.е. включительно.
Замечено, что рыночная цена акции в будущем существенно зависит от ее цены в текущий момент времени, при этом в силу случайных воздействий рынка изменение рыночной цены акции может произойти в любой случайный момент времени. Переходы системы S из состояние в состояние происходят со следующими плотностями переходов, не зависящими от времени и описывающимися матрицей:
Требуется:
а) составить долгосрочный прогноз рыночной цены акции;
б) выяснить, стоит ли приобретать акции общества А по цене 7 д.е. за акцию?
5. Система представляет собой счетчик банкнот, который может находиться в трех состояниях:
- счетчик исправен, но не эксплуатируется;
- счетчик исправен и эксплуатируется;
- счетчик не эксплуатируется по
причине неисправности.
Граф состояний счетчика имеет вид:
Найти вероятности состояний счетчика в момент , если в начальный момент он был исправен, но не эксплуатировался.