- •Академия управления
- •Содержание
- •Часть I. Задачи по теории вероятностей 4
- •Глава 1. События и вероятности 4
- •Часть I. Задачи по теории вероятностей Глава 1. События и вероятности
- •1.1 Элементы комбинаторики
- •1.2 Пространство элементарных событий. Полная группа событий. Операции над событиями
- •Задачи.
- •1.3 Задачи на классическое определение вероятности и гипергеометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение (урновая схема)
- •Задачи.
- •1.4 Геометрические вероятности
- •Задачи.
- •1.5 Формулы сложения и умножения вероятностей
- •Понятия:
- •Формулы умножения вероятностей.
- •Формулы сложения вероятностей.
- •Задачи.
- •1.6 Формула полной вероятности и формула Байеса
- •1. Формула полной вероятности
- •2. Формула Байеса
- •Задачи.
- •1.7 Схема Бернулли. Предельные теоремы для схемы Бернулли
- •5. Локальная теорема Муавра-Лапласа.
- •Задачи.
- •Глава 2. Случайные величины и законы их распределения
- •2.1 Законы и функции распределения случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия
- •Задачи.
- •2.2 Важнейшие распределения: биномиальное, Пуассона, показательное, равномерное и геометрическое
- •Задачи.
- •2.3 Нормальное распределение и его свойства
- •Задачи.
- •2.4 Двумерные случайные величины. Совместная функция и плотность распределения случайных величин
- •5. Вероятность попадания в прямоугольную область:
- •Задачи.
- •Часть II. Математическая статистика Глава 3. Доверительные интервалы
- •3.1 Доверительные интервалы при известной и неизвестной дисперсии
- •Задачи.
- •Глава 4. Проверка статистических гипотез
- •4.1 Сравнение дисперсий
- •4.1.1 . Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •Задачи.
- •4.1.2. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности
- •Задачи.
- •4.2 Сравнение средних генеральных совокупностей
- •4.2.1. Сравнение двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (большие независимые выборки)
- •Задачи.
- •4.2.2. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки.
- •Задачи.
- •4.2.3. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности
- •Задачи.
- •Задачи.
- •Глава 5. Элементы теории корреляции
- •Задачи.
- •1. Найти коэффициент корреляции между величинами X и y, совместный закон распределения которых задан следующей таблицей:
- •Глава 6. Цепи Маркова
- •6.1 Цепи Маркова с дискретным временем
- •Задачи.
- •6.2 Цепи Маркова с непрерывным временем
- •Уравнение Колмогорова
- •Финальные вероятности состояний системы.
- •Задачи.
- •6.3. Задачи на использование схемы гибели и размножения
- •Задачи.
- •Глава 1.
- •1.1 Элементы комбинаторики.
- •1.3 Классическое определение вероятности и урновая схема.
- •1.4 Геометрические вероятности.
- •1.5 Формулы сложения и умножения вероятностей.
- •1.6 Формула полной вероятности и формула Байеса.
- •1.7 Схема Бернулли. Предельные теоремы для схемы Бернулли.
- •Глава 2.
- •2.1 Законы и функции распределения случайных величин.
- •2.2 Важнейшие распределения.
- •2.3 Нормальное распределение и его свойства.
- •2.4 Двумерные случайные величины.
- •Глава 3.
- •3.1 Доверительные интервалы при известной и неизвестной дисперсии
- •Глава 4.
- •4.1 Сравнение дисперсий.
- •4.2 Сравнение средних генеральных совокупностей.
- •Глава 5. Элементы теории корреляции.
- •Глава 6.
- •6.1 Дискретные цепи Маркова.
- •Непрерывные цепи Маркова.
- •Задачи на использование схемы гибели и размножения.
- •Приложения
2.4 Двумерные случайные величины. Совместная функция и плотность распределения случайных величин
Краткие теоретические сведения.
1. Двумерная дискретная случайная величина задается в виде таблицы распределения. . Зная закон распределения двумерной дискретной случайной величины, можно найти законы распределения каждой из ее составляющих. Так, например, вероятность того, что Х примет значения , равна .
2. Совместная функция распределения двух случайных величин: = .
3. Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины:
.
Зная плотность совместного распределения , можно найти совместную функцию распределения по формуле:
.
Свойства двумерной плотности вероятности:
1)
2)
4. Для независимых случайных величин справедливы соотношения: ; ;
; .
5. Вероятность попадания в прямоугольную область:
Задачи.
1. Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины:
Y X |
7 |
12 |
4 |
0,17 |
0,10 |
11 |
0,13 |
0,30 |
15 |
0,25 |
0,05 |
Найти законы распределения составляющих.
2. Двумерная дискретная случайная величина задана законом распределения:
-
Y
X
5
10
15
2
0,3
0,15
0,05
4
0,15
0,10
0,05
6
0,05
0,05
0,05
8
0,05
0
0
Найти законы распределения составляющих X, Y. Проверить, являются ли независимыми эти случайные величины.
3. Задана функция распределения непрерывной случайной величины (X,Y): Найти вероятность того, что в результате испытания составляющие X и Y примут значения соответственно
4. Задана функция распределения двумерной случайной величины:
Найти вероятность попадания случайной точки в прямоугольник, ограниченный прямыми
5. Найти вероятность попадания случайной точки (X,Y) в прямоугольник, ограниченный прямыми , если известна функция распределения:
6. Задана функция распределения двумерной случайной величины:
Найти двумерную плотность вероятности.
7. Найти плотность вероятности случайной величины по известной функции распределения:
8. Независимые случайные величины Х и Y имеют соответственно плотности:
Найти: а) функции распределения и ; б) функцию распределения системы (X,Y); в) плотность распределения вероятностей системы (X,Y).
9. Дана плотность распределения вероятности двумерной случайной величины (X,Y):
а) Найти функцию распределения системы; б) вычислить вероятность того, что Х и Y примут соответственно значения Х<6, Y<7.
10. Дана плотность распределения вероятности двумерной случайной величины (X,Y):
Требуется: а) найти функцию распределения этой случайной величины; б) вычислить вероятность того, что X и Y примут значения
11. Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y) равна:
Найти: а) постоянный множитель С;
б) плотности распределения составляющих X и Y .
12. Система случайных величин распределена по закону:
Требуется установить:
а) являются ли величины X, Y зависимыми;
б) найти коэффициент ;
в) вероятность попадания в квадрат х1 = 0,5; х2 = 1, у1 = 1; у2 = 2.
13. Кредитный отдел банка проанализировал выданные кредиты по двум параметрам: по величине и длительности. Получилась такая таблица:
-
Краткосрочные
Долгосрочные
Мелкие
0,3
0,2
Средние
0,2
0,05
Крупные
0,2
0,05
Определите, независимы ли эти параметры? Найдите законы распределения краткосрочных и долгосрочных кредитов по величине кредитов.