4.2 Сравнение средних генеральных совокупностей

4.2.1. Сравнение двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (большие независимые выборки)

Обозначим через и объемы больших независимых выборок, по которым найдены соответствующие выборочные средние и . Генеральные дисперсии известны.

Правило 1. Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий (генеральных средних) двух нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями (в случае больших выборок) при конкурирующей гипотезе

нужно вычислить наблюдаемое значение критерия

и по таблице функции Лапласа найти критическую точку из равенства

.

Если - нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе

находят критическую точку по таблице функции Лапласа из равенства

.

Если - нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе

находят «вспомогательную» точку по правилу 2. Если - нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

Задачи.

1. По выборке объема найден средний вес изделий, изготовленных на первом станке:

По выборке объема найден средний вес изделий, изготовленных на втором станке:

Генеральные дисперсии равны:

Требуется при уровне значимости 0,05 проверить нулевую гипотезу

При конкурирующей гипотезе:

Предполагается, что X и Y распределены нормально и выборки независимы.

2. По двум независимым выборкам, объемы которых равны и , найдены выборочные средние

Генеральные дисперсии известны

При уровне значимости 0,01 проверить нулевую гипотезу

при конкурирующей гипотезе:

4.2.2. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки.

Обозначим через и объемы малых независимых выборок, по которым найдены соответствующие выборочные средние и и исправленные выборочные дисперсии . Генеральные дисперсии хотя и неизвестны, но предполагаются одинаковыми.

Правило 1. Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве математических ожиданий (генеральных средних) двух нормальных генеральных совокупностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями (в случае малых независимых выборок) при конкурирующей гипотезе

,

нужно вычислить наблюдаемое значение критерия

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости, помещенному в верхней строке таблицы и числу степеней свободы найти критическую точку .

Если - нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе

находят критическую точку по таблице по уровню значимости, помещенному в нижней строке таблицы, и тому же числу степеней свободы, что и в предыдущем случае ( ).

Если - нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе

находят сначала критическую точку по правилу 2 и полагают

Если - нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.