- •Академия управления
- •Содержание
- •Часть I. Задачи по теории вероятностей 4
- •Глава 1. События и вероятности 4
- •Часть I. Задачи по теории вероятностей Глава 1. События и вероятности
- •1.1 Элементы комбинаторики
- •1.2 Пространство элементарных событий. Полная группа событий. Операции над событиями
- •Задачи.
- •1.3 Задачи на классическое определение вероятности и гипергеометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение (урновая схема)
- •Задачи.
- •1.4 Геометрические вероятности
- •Задачи.
- •1.5 Формулы сложения и умножения вероятностей
- •Понятия:
- •Формулы умножения вероятностей.
- •Формулы сложения вероятностей.
- •Задачи.
- •1.6 Формула полной вероятности и формула Байеса
- •1. Формула полной вероятности
- •2. Формула Байеса
- •Задачи.
- •1.7 Схема Бернулли. Предельные теоремы для схемы Бернулли
- •5. Локальная теорема Муавра-Лапласа.
- •Задачи.
- •Глава 2. Случайные величины и законы их распределения
- •2.1 Законы и функции распределения случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия
- •Задачи.
- •2.2 Важнейшие распределения: биномиальное, Пуассона, показательное, равномерное и геометрическое
- •Задачи.
- •2.3 Нормальное распределение и его свойства
- •Задачи.
- •2.4 Двумерные случайные величины. Совместная функция и плотность распределения случайных величин
- •5. Вероятность попадания в прямоугольную область:
- •Задачи.
- •Часть II. Математическая статистика Глава 3. Доверительные интервалы
- •3.1 Доверительные интервалы при известной и неизвестной дисперсии
- •Задачи.
- •Глава 4. Проверка статистических гипотез
- •4.1 Сравнение дисперсий
- •4.1.1 . Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •Задачи.
- •4.1.2. Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности
- •Задачи.
- •4.2 Сравнение средних генеральных совокупностей
- •4.2.1. Сравнение двух средних генеральных совокупностей, дисперсии которых известны (большие независимые выборки)
- •Задачи.
- •4.2.2. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки.
- •Задачи.
- •4.2.3. Сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней нормальной совокупности
- •Задачи.
- •Задачи.
- •Глава 5. Элементы теории корреляции
- •Задачи.
- •1. Найти коэффициент корреляции между величинами X и y, совместный закон распределения которых задан следующей таблицей:
- •Глава 6. Цепи Маркова
- •6.1 Цепи Маркова с дискретным временем
- •Задачи.
- •6.2 Цепи Маркова с непрерывным временем
- •Уравнение Колмогорова
- •Финальные вероятности состояний системы.
- •Задачи.
- •6.3. Задачи на использование схемы гибели и размножения
- •Задачи.
- •Глава 1.
- •1.1 Элементы комбинаторики.
- •1.3 Классическое определение вероятности и урновая схема.
- •1.4 Геометрические вероятности.
- •1.5 Формулы сложения и умножения вероятностей.
- •1.6 Формула полной вероятности и формула Байеса.
- •1.7 Схема Бернулли. Предельные теоремы для схемы Бернулли.
- •Глава 2.
- •2.1 Законы и функции распределения случайных величин.
- •2.2 Важнейшие распределения.
- •2.3 Нормальное распределение и его свойства.
- •2.4 Двумерные случайные величины.
- •Глава 3.
- •3.1 Доверительные интервалы при известной и неизвестной дисперсии
- •Глава 4.
- •4.1 Сравнение дисперсий.
- •4.2 Сравнение средних генеральных совокупностей.
- •Глава 5. Элементы теории корреляции.
- •Глава 6.
- •6.1 Дискретные цепи Маркова.
- •Непрерывные цепи Маркова.
- •Задачи на использование схемы гибели и размножения.
- •Приложения
Задачи.
1. Задана матрица перехода
Найти матрицу перехода
2. Измерительная система в течение суток может находиться в одном из двух состояний – исправном и неисправном . Граф состояний системы представлен на рисунке:
В результате проведения массовых наблюдений за системой получена матрица вероятностей перехода:
,
где - вероятность того, что система останется в исправном состоянии; - вероятность выхода из строя системы; - вероятность перехода из неисправного в исправное состояние; - вероятность того, что система останется в неисправном состоянии.
Вектор начальных вероятностей состояний системы:
Требуется определить вероятности ее состояний через трое суток.
3. Предприятие реализует две марки однотипных бытовых электроприборов (А и В). Опыт эксплуатации свидетельствует о том, что для них имеют место различные матрицы переходных вероятностей, соответствующих состояниям “работает хорошо” (состояние 1) и “требует ремонта” (состояние 2):
для электроприбора марки А: ;
для электроприбора марки В:
Элементы матрицы перехода определены на годовой период эксплуатации. Требуется:
а) найти вероятности состояний для каждой марки электроприбора после двухлетней эксплуатации, если в начальном состоянии как А, так и В работали хорошо;
б) определить марку электроприбора, являющуюся более предпочтительной для приобретения в личное пользование.
4. Состояние банка характеризуется одной из процентных ставок: 2%, 3%, 4%, которые устанавливаются в начале каждого квартала и фиксированы на его протяжении.
Определить вероятности состояний в конце года, если в конце предыдущего года процентная ставка банка составляла 3%, а размеченный граф состояний имеет вид, приведенный на рисунке:
5. В процессе эксплуатации суперкомпьютер может оказываться в одном из следующих состояний: - полностью исправен;
- имеет неисправности в оперативной памяти, при которых возможно решение большинства задач;
- имеет существенные неисправности и может решать лишь ограниченный класс задач;
- полностью неисправен.
В начальный момент времени суперкомпьютер полностью исправен. Его проверка производится в фиксированные моменты времени Матрица переходных вероятностей имеет вид:
Требуется:
построить граф состояний;
найти вероятности состояний суперкомпьютера после одной, двух и трех проверок.
6. Рассчитать вектор предельных вероятностей для системы, характеризующейся матрицей переходов:
Какой процент времени будет находиться система при длительном функционировании в 1-м и 2-м состояниях?
7. Некоторая совокупность рабочих семей поделена на три группы: А – семьи, не имеющие автомашины и не намеревающиеся ее приобрести; В – семьи, не имеющие автомашины, но собирающиеся ее приобрести, и, наконец, С – семьи, имеющие автомашину. Статистические обследования дали возможность оценить вероятность перехода семей из одной группы на протяжении года в другую. При этом матрица перехода оказалась такой:
Вычислить:
а) вероятность того, что семья, не имеющая машины и не собирающиеся ее приобрести, будет находиться в той же ситуации через 2 года;
б) вероятность того, что семья, не имеющая автомашины и намеревающаяся ее приобрести, будет ее иметь через 2 года.
8. Две автоматические линии А и В сдаются в аренду по одной и той же цене. Для них характерны следующие матрицы переходных вероятностей:
; ,
где - состояние, когда линия работает хорошо, - состояние, когда она требует регулировки. Определить стационарные вероятности для обеих линий. Какую линию стоит арендовать?
9 . По некоторой цели произведено два выстрела в момент времени и . Возможные состояния цели: - цель невредима; - цель незначительно повреждена; - цель получила существенное повреждение; - цель полностью поражена. Размеченный граф состояний цели имеет вид:
В начальный момент цель находилась в состоянии . Определить вероятность состояний цели после двух выстрелов.