2. Ангармонические колебания физического маятника

Для изучения незатухающих ангармонических колебаний физического маятника удобно использовать закон сохранения энергии. Полная энергия маятника Е складывается из кинетической энергии

, (8.23)

и потенциальной энергии

. (8.24)

Тогда полная энергия маятника Е

. (8.25)

Выразим угловую скорость через угол

, (8.26)

где

, (8.27)

Отсюда

(8.28)

При начальном отклонении маятника на угол (при ) закон движения маятника буде иметь вид

. (8.29)

Период колебаний дается выражением

. (8.30)

Решение уравнения (8.30) записывается в виде

, (8.31)

где – период малых гармонических колебаний, определяемый (8.9).

Функция называется полным эллиптическим интегралом первого рода.

, (8.32)

не выражается через элементарные функции и относится к так называемым специальным функциям математической физики. Ее значение для вычисляется легко

. (8.33) Для вычисления значений при на компьютере можно использовать математический пакет Maple (см. рис. 8.2). Рис. 8.2. Вычисление полного эллиптического интеграла первого рода и построение его графика в математическом пакете Maple

3. Затухающие колебания физического маятника

Сила сопротивления движению шара в воздухе направлена противоположно его скорости и зависит от сложным образом ( [8], см. работу № 1.6). При медленном движении шара диаметром сила сопротивления пропорциональная скорости

, (8.34)

где - динамическая вязкость воздуха, 18,1 мкПас. Применимость этой формулы Стокса ограничена значениями числа Рейнольдса

. (8.35)

При более точном рассмотрении движения жидкости вдали от шарика К. Осееном было получено следующее выражение для силы, применимое при

. (8.36)

При колебаниях маятника шар движется с переменной скоростью, поэтому при вычислении числа Рейнольдса в качестве скорости можно использовать среднее за полупериод, в течение которого шар движется в одном направлении

, (8.37)

где - амплитуда линейных смещений математического маятника. Для уменьшения значений в данной работе необходимо использовать возможно большую длину нити и возможно меньший диаметр .

Скорость движения шара (сферы) на нити, (см. рис. 8.1),) связана с угловой скоростью

, (8.38)

где вектор направлен из точки подвеса в центр сферы. Сила сопротивления направлена противоположно вектору скорости , поэтому ее момент относительно оси вращения

. (8.39)

С использованием математической формулы для двойного векторного произведения

, (8.40)

и перпендикулярности векторов и получим выражения для вектора момента сил сопротивления

. (8.41)

и проекции этого момента на ось

. (8.42)

С учетом сопротивления воздуха уравнение (8.5) изменится

, (8.43)

или для малых углов уравнение

, (8.44)

. (8.45)

Это уравнение является примером общего уравнения свободных затухающих колебаний

, (8.46)

со значениями параметров

, , (8.47)

для математического маятника с длиной нити

, . . (8.48)

Решения уравнения (8.46) в случае слабого затухания, представляют собой затухающие колебания

, (8.49)

с циклической частотой

, (8.50)

периодом

, (8.51)

и убывающей по экспоненциальному закону амплитудой

. (8.52)

Затухающие колебания характеризуют следующие величины:

1) время релаксации и время уменьшения амплитуды вдвое

, ; (8.53)

2) декремент затухания – отношения амплитуд двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период

; (8.54)

3) логарифмический декремент затухания

, (8.55)

где - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в раз, которое можно выразить через число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды вдвое

; (8.56)

4) добротность

. (8.57)

В модели (8.47) логарифмический декремент затухания и числа , являются постоянными.