3. Предметный указатель

график игрока

игр биматричных, смешанное расширение

игра Аумана

игра «две кучки»,

модифицированная

игра «ним»

игра «семейный спор»

игры биматричные

игры биматричные

размерности 2×2

игры позиционные

игры, позиция

начальная

финальная

платёжная матрица

игрока A

игрока В

равновесие Нэша

в смешанных стратегиях

в чистых стратегиях

равновесий Нэша нахождение

стратегия

смешанная оптимальная

игрока A

игрока В

чистая оптимальная

игрока A

игрока В

Глава 4.3. Неигровые модели взаимодействия

1. Обобщённые паросочетания

2. Справедливый делёж

3. Пропорциональное представительство

4. Предметный указатель

В этой главе рассматривается взаимодействие участников, которое хотя обычно и не рас-сматривается в рамках традиционной теории игр, всё же носит в себе черты как конфликта, так и сотрудничества. При таком взаимодействии интересы участников, хотя и не совсем совпада-ют, всё же не являются полностью противоположными, как в матричных играх двух лиц с нуле-вой суммой. Ещё более принципиальное отличие состоит в том, что суть дела в рассматривае-мых здесь случаях состоит не в достижении оптимального результата отдельными игроками, а в определении таких правил взаимодействия участников, которые представляются разумными. Разумность правил означает, что попытка достижения своих целей каждым участником в от-дельности в рамках этих правил приводит к результатам, которые с некоторой общей точки зрения представляются целесообразными и справедливыми. Напомним, что лица или организа-ции, определяющие правила взаимодействия участников и заинтересованные в результатах это-го взаимодействия, иногда называются метаигроками.

1. Обобщённые паросочетания

В главе «Элементы теории графов» было введено понятие двудольного графа. Далее, в части «Дискретная оптимизация», рассматривались связанные с такими графами задача о мак-симальном паросочетании и задача назначения. В этих задачах вершины одной доли графа ин-терпретируются как исполнители, а вершины другой – как задания, которые могут быть выпол-нены определёнными исполнителями. При поиске паросочетания требовалось обеспечить мак-симальную эффективность соответствующего назначения, т.е. сопоставления работ исполните-лям. При этом интересы самих исполнителей не только не принимались во внимание, но даже и не рассматривались.

Однако во многих случаях обеим частям двудольного графа (а не только исполнителям) естественно сопоставляются некоторые интересы. Примером может служить распределение вы-пускников медицинского вуза между больницами, распределение выпускников военной акаде-мии между воинскими частями, и т.д. Другим примером служит распределение рукописей меж-ду рецензентами в научном издательстве. Конечно, рукописи сами по себе не обладают никаки-ми мнениями относительно рецензентов, однако такими мнениями обладают редакторы изда-тельства, которые понимают, какие рецензенты лучше подходят для работы с той или иной ру-кописью.

Общепринято рассматривать ситуации, в которых элементы каждой из двух сторон имеют предпочтения относительно элементов другой стороны, в гендерных терминах. Предполагается, что имеются мужчины и женшины: с точки зрения любого мужчины, все женщины ранжирова-ны от лучшей к худшей, а с точки зрения любой женщины, так же ранжированы все мужчины. Все эти ранжировки могут быть совершенно произвольными.

Задача брачного агенства состоит в поиске разумного паросочетания (об оптимальных в такой деликатной ситуации вряд ли стоит говорить). Для того, чтобы формализовать понятие разумности паросочетания, рассмотрим некоторые примеры. Здесь и далее предполагается, что участники могут свободно обмениваться информацией о своих предпочтениях, а брачное агент-ство, естественно, знает их все.

Пример 1. Пусть имеется трое мужчин и три женщины, т.е. М = {m₁, m₂, m₃}, W = {w₁, w₂, w₃} и предпочтения участников имеют вид:

P(m₁) = w₂, w₁, w₃; P(w₁) = m₁, m₂, m₃

P(m₂) = w₁, w₃, w₂; P(w₂) = m₃, m₁, m₂;

P(m₃) = w₁, w₂, w₃; P(w₃) = m₃, m₁, m₂.

Это означает, что с точки зрения мужчины m₁ лучшей является женщина w₂, за ней следует женщина w₁ и затем – женщина w₃; с точки зрения женщины w₁ лучшим является мужчина m₁, за ним следует мужчина m₂ и затем – мужчина m₃, и т.д. Рассмотрим паросочетание

μ =

и мужчину m₁. Ему паросочетанием μ предписывается жениться на женщине w₁, при том, что более предпочтительным для него вариантом является женитьба на w₂. В то же время женщина w₂ должна, согласно паросочетанию μ, выйти замуж за m₂, хотя мужчина m₁ для неё более предпочтителен. Но тогда пара (m₁, w₂) может отказаться принимать условия, предлагаемые па-росочетанием μ, поскольку они оба предпочитают друг друга более, чем предлагаемых им парт-нёров. Если брачное агентство предлагает своим клиентам устроить браки в соответствии с дан-ным паросочетанием μ, то пара (m₁, w₂) не будем следовать советам этого агенства ■

В случаях, аналогичных рассмотренному в примере 1, говорят, что пара (m, w) блокиру-ет паросочетание μ. Сама такая пара называется блокирующей паросочетание.

Пример 2. При тех же самых предпочтениях, как в примере 1, рассмотрим паросочетание

ν = .

Рассмотрим мужчину m₁ и женщину w₂. Поскольку женщине w₂ предписан лучший, по её мне-нию, мужчина m₁, то пара (m₁, w₂) не является блокирующей данное паросочетание ν. Пара (m₁, w₃) не является блокирующей, поскольку мужчине m₁ предписана женщина w₁, которая в его предпочтениях стоит перед женщиной w₃. Пара (m₃, w₃) не является блокирующей, поскольку мужчине m₃ предписана женщина w₂, которая в его предпочтениях стоит перед женщиной w₃. Далее, рассмотрим пару (m₃, w₁). Она не является блокирующей, поскольку женщине w₁ пред-писан лучший, по её мнению, мужчина m₁. Пара (m₂, w₁) не является блокирующей по той же причине (женщине w₁ предписан лучший, по её мнению, мужчина m₁). Наконец, пара (m₂, w₂) не является блокирующей, поскольку женщине w₂ предписан лучший, по её мнению, мужчина m₃.

Таким образом, рассмотрены все 6 пар, которые не предписаны друг другу паросочетанием ν (число таких пар всегда равно 6 при 3-ёх мужчинах и 3-ёх женщинах независимо от паросочета-ния). Ни одна из этих пар не является блокирющей ■

Паросочетание, не содержащее блокирующих пар, называется устойчивым. Пример 2 по-казывает, что при рассматриваемых предпочтениях паросочетание ν является устойчивым. Ус-тойчивость не означает, что все получают лучших – с их точки зрения – партнёров. В паросоче-тании ν каждый мужчина получает 2-ую по своему предпочтению женщину, женщины w₁ и w₂ получают лучших – с их точки зрения – партнёров, а женщина w₃ получает мужчину m₂, зани-мающего последнее место в её предпочтениях. И тем не менее пары, которая блокировала бы это паросочетание, нет.

Естественно возникающие вопросы состоят в следующем. Существует ли хотя бы одно устойчивое паросочетание состояние при любых предпочтениях участников? Как его найти, ес-ли оно существует? На 1-ый вопрос положительный ответ даёт

Утверждение 1. При любых предпочтениях участников, задаваемых строгими ранжиров-ками, устойчивые паросочетания существуют ■

Приведём алгоритм построения устойчивого паросочетания. Доказательство утверждения 1 (которое здесь не приводится) как раз и состоит в доказательстве того, что паросочетание, по-строенное данным алгоритмом, действительно устойчиво. Для упрощения изложения алгоритм демонстрируется на конкретном примере.

Пример 3. Построить устойчивое паросочетание при заданных предпочтениях мужчин и женщин. Пусть имеется трое мужчин и четыре женщины, т.е. М = {m₁, m₂, m₃}, W = {w₁, w₂, w₃, w₄} и предпочтения участников имеют вид:

P(m₁) = w₂, w₁, w₄, w₃; P(w₁) = m₂, m₁, m₃;

P(m₂) = w₂, w₃, w₄, w₁; P(w₂) = m₃, m₂, m₁;

P(m₃) = w₁, w₄, w₃, w₂; P(w₃) = m₃, m₁, m₂;

P(w₄) = m₁, m₃, m₂.

Алгоритм состоит из последовательно выполняемых шагов 1, 2, 3, … . Каждый шаг состо-ит из двух фаз: фазы приписывания (А) и фазы отказа (Б). В фазе приписывания каждому мужчине из тех, у кого на данный момент нет пары, приписывается женщина, следующая в его предпочтении сразу после той, которая отказала ему (отвергла его) на предыдущем шаге. (На шаге 1 в фазе приписывания каждому мужчине просто приписывается первая в его предпочте-нии женщина.)

Если на каком-то шаге после фазы приписывания всем мужчинам приписаны разные жен-щины, то искомое паросочетание найдено и алгоритм прекращает работу. В противном случае переходим к фазе отказа.

В фазе отказа каждая женщина из тех, которым приписано более одного мужчины, остав-ляет того мужчину, который предшествует остальным из приписанных ей. Этот мужчина обра-зует с данной женщиной пару, а остальным она отказывает (отвергает их).

Посмотрим, как работает алгоритм в рассматриваемом случае.

Шаг 1.

Фаза А. Приписываем каждому мужчине предпочитаемую им женщину. Получим

.

Фаза Б. Женщине w₂ приписано двое мужчин: m₁ и m₂. Поскольку в её предпочтении m₂ пред-шествует m₁, то она отвергает m₁. Получаем «неполное» паросочетание

.

Запомним, что мужчину m₁ отвергла женщина w₂.

Шаг 2.

Фаза А. В данный момент у мужчины m₁ нет пары. В соответствии с алгоритмом приписываем ему женщину, следующую в его списке сразу после отвергшей его женщиной w₂. Таковой явля-ется женщина w₁. В результате приписывания получаем

.

Фаза Б. Женщине w₁ приписано двое мужчин: m₁ и m₃. Поскольку в её предпочтении m₁ пред-шествует m₃, то она отвергает m₃. Получаем «неполное» паросочетание

.

Запомним, что мужчину m₃ отвергла женщина w₁.

Шаг 3.

Фаза А. В данный момент у мужчины m₃ нет пары. В соответствии с алгоритмом приписываем ему женщину, следующую в его списке сразу после отвергшей его женщиной w₁. Таковой явля-ется женщина w₄. В результате приписывания получаем

.

Поскольку всем мужчинам сопоставлены разные женщины, то искомое паросочетание найдено и алгоритм прекращает работу. В результате мужчина m₂ получает предпочитаемую им женщину, мужчины m₁ и m₃ получают женщин w₁ и w₄, вторых по их предпочтениям. Женщи-нам w₁, w₂ и w₄ достаются мужчины m₁, m₂ и m₃, вторые по их предпочтениям. Женщина w₃ остаётся одна ■

В рассмотренном примере на 1-ом шаге в фазе приписывания женщины приписывались мужчинам. Можно использовать тот же алгоритм, в котором женщины заменены на мужчин, а мужчины на женщин, т.е. на 1-ом шаге мужчины приписываются женщинам, далее на фазе от-каза из нескольких женщин, приписанных одному мужчине, остаётся та, которая предпочти-тельней остальных, и т.д. Возможно построить несколько устойчивых паросочетаний, некото-рые из которых могут быть в каких-то отношениях лучше, чем данное. Однако используемый алгоритм гарантирует устойчивость полученного паросочетания (отсутствие блокирующих пар) при любых исходных данных.

Можно сказать, что брачное агентство является в данном случае метаигроком, который определяет правила взаимодействия участников: они указывают свои предпочтения (в виде строгих ранжировок), а участникам предлагается достаточно разумное устойчивое паросочета-ние, которое строится на основе полученной от участников информации об их предпочтениях. В большинстве случаев такие разумные (в данном случае – устойчивые) паросочетания опреде-ляются неоднозначно, однако вопрос о том, как их оценивать и как выбирать в том или ином смысле «лучшие» или «оптимальные» паросочетания, здесь не рассматривается.

Задание 1. Построить, пользуясь рассмотренным выше алгоритмом, устойчивые паросо-четания при следующих предпочтениях участников:

01 P(m1) = w2, w3, w1; P(w1) = m2, m1, m3; P(m2) = w2, w1, w3; P(w2) = m3, m2, m1; P(m3) = w1, w3, w2; P(w3) = m3, m1, m2.	02 P(m1) = w2, w3, w1; P(w1) = m2, m1, m3; P(m2) = w1, w3, w2; P(w2) = m3, m2, m1; P(m3) = w2, w1, w3; P(w3) = m3, m1, m2.
03 P(m1) = w2, w1, w3; P(w1) = m2, m1, m3; P(m2) = w2, w3, w1; P(w2) = m3, m2, m1; P(m3) = w1, w3, w2; P(w3) = m3, m1, m2.	04 P(m1) = w2, w1, w3; P(w1) = m2, m1, m3; P(m2) = w1, w3, w2; P(w2) = m3, m2, m1; P(m3) = w2, w3, w1; P(w3) = m3, m1, m2.
05 P(m1) = w1, w3, w2; P(w1) = m2, m1, m3; P(m2) = w2, w3, w1; P(w2) = m3, m2, m1; P(m3) = w2, w1, w3; P(w3) = m3, m1, m2.	06 P(m1) = w1, w3, w2; P(w1) = m2, m1, m3; P(m2) = w2, w1, w3; P(w2) = m3, m2, m1; P(m3) = w2, w3, w1; P(w3) = m3, m1, m2.
07 P(m1) = w2, w3, w1; P(w1) = m2, m3, m1; P(m2) = w2, w1, w3; P(w2) = m3, m1, m2; P(m3) = w1, w3, w2; P(w3) = m3, m2, m1.	08 P(m1) = w2, w3, w1; P(w1) = m2, m3, m1; P(m2) = w1, w3, w2; P(w2) = m3, m1, m2; P(m3) = w2, w1, w3; P(w3) = m3, m2, m1.
09 P(m1) = w2, w1, w3; P(w1) = m2, m3, m1; P(m2) = w2, w3, w1; P(w2) = m3, m1, m2; P(m3) = w1, w3, w2; P(w3) = m3, m2, m1.	10 P(m1) = w2, w1, w3; P(w1) = m2, m3, m1; P(m2) = w1, w3, w2; P(w2) = m3, m1, m2; P(m3) = w2, w3, w1; P(w3) = m3, m2, m1.
11 P(m1) = w1, w3, w2; P(w1) = m2, m3, m1; P(m2) = w2, w3, w1; P(w2) = m3, m1, m2; P(m3) = w2, w1, w3; P(w3) = m3, m2, m1.	12 P(m1) = w1, w3, w2; P(w1) = m2, m3, m1; P(m2) = w2, w1, w3; P(w2) = m3, m1, m2; P(m3) = w2, w3, w1; P(w3) = m3, m2, m1.
13 P(m1) = w2, w1, w3; P(w1) = m3, m2, m1; P(m2) = w2, w3, w1; P(w2) = m2, m3, m1; P(m3) = w1, w3, w2; P(w3) = m2, m3, m1.	14 P(m1) = w2, w1, w3; P(w1) = m3, m2, m1; P(m2) = w1, w3, w2; P(w2) = m2, m3, m1; P(m3) = w2, w3, w1; P(w3) = m2, m3, m1.
15 P(m1) = w1, w3, w2; P(w1) = m3, m2, m1; P(m2) = w2, w3, w1; P(w2) = m2, m3, m1; P(m3) = w2, w1, w3; P(w3) = m2, m3, m1.	16 P(m1) = w2, w3, w1; P(w1) = m2, m1, m3; P(m2) = w2, w1, w3; P(w2) = m3, m2, m1; P(m3) = w1, w3, w2; P(w3) = m3, m1, m2.
17 P(m1) = w2, w3, w1; P(w1) = m2, m1, m3; P(m2) = w1, w3, w2; P(w2) = m3, m2, m1; P(m3) = w2, w1, w3; P(w3) = m3, m1, m2.	18 P(m1) = w2, w1, w3; P(w1) = m2, m1, m3; P(m2) = w2, w3, w1; P(w2) = m3, m2, m1; P(m3) = w1, w3, w2; P(w3) = m3, m1, m2.
19 P(m1) = w2, w1, w3; P(w1) = m2, m1, m3; P(m2) = w1, w3, w2; P(w2) = m3, m2, m1; P(m3) = w2, w3, w1; P(w3) = m3, m1, m2.	20 P(m1) = w1, w3, w2; P(w1) = m2, m1, m3; P(m2) = w2, w3, w1; P(w2) = m3, m2, m1; P(m3) = w2, w1, w3; P(w3) = m3, m1, m2.
21 P(m1) = w1, w3, w2; P(w1) = m2, m1, m3; P(m2) = w2, w1, w3; P(w2) = m3, m2, m1; P(m3) = w2, w3, w1; P(w3) = m3, m1, m2.	22 P(m1) = w2, w3, w1; P(w1) = m2, m3, m1; P(m2) = w2, w1, w3; P(w2) = m3, m1, m2; P(m3) = w1, w3, w2; P(w3) = m3, m2, m1.
23 P(m1) = w2, w3, w1; P(w1) = m2, m3, m1; P(m2) = w1, w3, w2; P(w2) = m3, m1, m2; P(m3) = w2, w1, w3; P(w3) = m3, m2, m1.	24 P(m1) = w2, w1, w3; P(w1) = m2, m3, m1; P(m2) = w2, w3, w1; P(w2) = m3, m1, m2; P(m3) = w1, w3, w2; P(w3) = m3, m2, m1.
25 P(m1) = w2, w1, w3; P(w1) = m2, m3, m1; P(m2) = w1, w3, w2; P(w2) = m3, m1, m2; P(m3) = w2, w3, w1; P(w3) = m3, m2, m1.	26 P(m1) = w1, w3, w2; P(w1) = m2, m3, m1; P(m2) = w2, w3, w1; P(w2) = m3, m1, m2; P(m3) = w2, w1, w3; P(w3) = m3, m2, m1.
27 P(m1) = w1, w3, w2; P(w1) = m2, m3, m1; P(m2) = w2, w1, w3; P(w2) = m3, m1, m2; P(m3) = w2, w3, w1; P(w3) = m3, m2, m1.	28 P(m1) = w2, w1, w3; P(w1) = m3, m2, m1; P(m2) = w2, w3, w1; P(w2) = m1, m3, m2; P(m3) = w1, w3, w2; P(w3) = m2, m3, m1.
29 P(m1) = w2, w1, w3; P(w1) = m3, m2, m1; P(m2) = w1, w3, w2; P(w2) = m1, m3, m2; P(m3) = w2, w3, w1; P(w3) = m2, m3, m1.	30 P(m1) = w1, w3, w2; P(w1) = m3, m2, m1; P(m2) = w2, w3, w1; P(w2) = m1, m3, m2; P(m3) = w2, w1, w3; P(w3) = m2, m3, m1.
31 P(m1) = w1, w3, w2; P(w1) = m3, m2, m1; P(m2) = w2, w1, w3; P(w2) = m1, m3, m2; P(m3) = w2, w3, w1; P(w3) = m2, m3, m1.	32 P(m1) = w2, w3, w1; P(w1) = m2, m1, m3; P(m2) = w2, w1, w3; P(w2) = m3, m2, m1; P(m3) = w1, w3, w2; P(w3) = m3, m1, m2.

■