5. Решение игр размерности 22 и 2n в смешанных стратегиях

5.1. Игра размерности 22. Рассмотрим произвольную матричную игру со следующей платёжной матрицей размерности 22 общего вида:

Q = . (18)

Для поиска решений в смешанных стратегиях в данной игре рассматриваются два взаимоиск-лючающих случая.

Случай 1. У игры есть решение в чистых стратегиях. Тогда в силу утверждения 7 это же самое решение (представленное в виде пары смешанных стратегий, как в примере 6) является решением игры в смешанных стратегиях. На этом поиск решений в смешанных стратегиях за-кончен.

Прежде чем перейти к случаю 2  отсутствию решения в чистых стратегиях  сформули-руем некоторые простые, но нужные для дальнейшего утверждения.

Утверждение 8. Пусть в матрице (18) есть доминируемые или дублирующие строки или столбцы. Тогда в матричной игре с этой платёжной матрицей есть решение в чистых стратегиях ■

Заметим, что условие утверждения 8 является достаточным, но не необходимым. В игре с матрицей Q = есть решение в чистых стратегиях, а доминируемых или дублирующих строк и столбцов нет.

Утверждение 9. Пусть в матрице (18) совпадают элементы одного столбца или одной строки. Тогда в матричной игре с этой платёжной матрицей есть решение в чистых стратегиях ■

Напомним определение функции sgn(x):

sgn(x) =

Утверждение 10. Пусть в матрице (18)

sgn(q₁₁  q₂₁) =  sgn(q₂₂  q₁₂) (19a)

или

sgn(q₁₁  q₁₂) =  sgn(q₂₂  q₂₁). (19b)

Тогда в матричной игре с этой платёжной матрицей есть решение в чистых стратегиях ■

Случай 2. У игры нет решения в чистых стратегиях. Рассмотрим выражение (9) для выиг-рыша игрока А в игре размерности 22:

g(x,y) = x₁·y₁·q₁₁ + x₁·y₂·q₁₂ + x₂·y₁·q₂₁ + x₂·y₂·q₂₂. (20)

Учитывая, что x₁ + x₂ = 1, y₁ + y₂ = 1, положим x = x₁, y = y₁ и отождествим стратегии игроков с однозначно определяющими их вероятностями x и y. Представим (20) (после простых преобра-зований) в следующем виде:

g(x, y) = mx + n, (21a)

где

m = (q₁₁–q₁₂–q₂₁+q₂₂)·y+(q₁₂ – q₂₂), (22a)

n = (q₂₁–q₂₂)·y+q₂₂. (23a)

Выражение (20) является, в соответствии с определениями, проигрышем игрока В в той же са-мой игре. Представим (20) в виде, аналогичном (21a):

g(x, y) = sy + t, (21b)

где

s = (q₁₁–q₁₂–q₂₁+q₂₂)·x+(q₂₁ – q₂₂), (22b)

t = (q₁₂–q₂₂)·x+q₂₂. (23b)

Положим

q₁ = q₁₁ – q₁₂ – q₂₁ + q₂₂, (24)

q₂ = q₂₂–q₁₂, (25)

q₃ = q₂₂–q₂₁. (26)

Имеет место

Утверждение 11. Пусть в игре с платёжной матрицей (18) нет решений в чистых страте-гиях. Тогда

1) q₁ ≠ 0, q₂ ≠ 0, q₃ ≠ 0; (27)

2) sgn(q₂) = sgn(q₃); (28)

3) 0 < q₂  q₁ < 1, 0 < q₃  q₁ < 1 ■ (29)

Все три части утверждения 11 являются следствиями утверждений 8 – 10. В частности, вторые неравенства в формулах (29) следуют из того, что q₁ = q₁₁ – q₂₁+ q₂ = q₁₁ – q₁₂ + q₃ и утверждения 10.

Перейдём к явному построению решения игры в смешанных стратегиях. Начнём с игрока А. Для любой стратегии y игрока В положим

_А(y) = {x | ( ) (g_A(x', y) ≤ g_A(x, y))}. (30a)

Другими сдовами, _A(y) – это множество всех стратегий x игрока А, которые максимизирует его выигрыш g_A(x, y) при данном y.

Положим

Φ_A = {(x, y) | y[0, 1], x_A(y)}. (31a)

Множество Φ_A назовём графиком игрока А (см. общее определение графика в гл. 1.3)

Поскольку при любом фиксированном y функция (21а) линейна по x, и при этом 0 ≤ x ≤ 1, то максимум достигается при m ≠ 0 на концах отрезка [0, 1] (т.е. при одной из двух чистых страте-гий), а при m = 0 – при всех стратегиях, поскольку в этом случае g(x, y) просто не зависит от x. Представим эти рассуждения геометрически, нарисовав график Φ_A игрока А. Из (22а) и (23а) следует, что

g(x, 0) = –x·q₂ + q₂₂.

Поэтому

(0) = . (32a)

Далее, представим (22а) с учётом обозначений (24) – (26) как

m = q₁·y – q₂.

Будем увеличивать y от 0 до 1. В силу 3-ей части утверждения 11 q₁ и q₂ имеют одинаковые знаки. Поэтому при y = y* = q₂  q₁ число m = 0, g(x, y*) от x не зависит и, следовательно, мно-жеством _А(y*) является отрезок [0, 1]. Далее, при y > y* число m меняет знак на противопо-ложный. Поэтому, если (0) = {0}, то (1) = {1}; если же (0) = {1}, то (1) = {0}. Оба случая (при и при ) представлены на рис.1.

Рис.1

Теперь перейдём к игроку В. Для любой стратегии x игрока А положим

_B(x) = {y | ( ) (g_B(x, y) ≤ g_B(x, y ))}. (30b)

Другими сдовами, _B(x) – это множество всех стратегий y игрока B, которые минимизируют его выигрыш g_B(x, y) при данном x.

Определим график игрока В формулой, аналогичной формуле (31а):

_В = {(x, y) | x[0, 1], y_B(x)}. (31b)

Далее практически повторим все рассуждения относительно графика Φ_A применительно к гра-фику _В (учитывая минимизацию, а не максимизацию). В частности, получим

(0) = (32b)

(различие (32a) и (32b) определяется минимизацией вместо максимизации).

Как и выше, положим x* = q₃  q₁. При x = x* коэффициент s при y в (21b) обращается в 0, так что минимум достигается при любом y от 0 до 1; в этой точке знак s меняется и, соответствен-но, (x) меняет значение с {0} на {1} или наоборот. Оба случая представлены на рис.2 в тех же координатах, что и на рис.1.

В силу формулы (28), q₂ < 0 тогда и только тогда, когда q₃ < 0. Поэтому при изображении обоих графиков в одних и тех же координатах имеется два случая: q₂ < 0, q₃ < 0 и q₂ > 0, q₃ > 0. Других вариантов не может быть. Эти графики показаны на рис. 3. Из формулы (29) следует, что q₁ имеет тот же знак, что q₂ и q₃. Поэтому левой и правой части рис.3 соответствуют q₁ < 0 и q₁ > 0.

Суть дела состоит в том, что найденные смешанные стратегии x* и y* образуют решение исходной матричной игры с платёжной матрицей (18), не имеющей решений в чистых стратеги-ях. Действительно, по построению _А(y) (см. формулу (30a)) для любого y и для любого x' _А(y) выполняется условие

( x) g(x, y) ≤ g(x', y). (33a)

В частности, (33a) верно при y = y* и x' = x*, так как при y = y* x' можно выбрать произвольно. Поэтому из (33a) следует, что для любого x

g(x, y*) ≤ g(x*, y*). (34a)

Аналогично, по построению _B(x) для любого x и для любого y' = (x) выполняется условие

( ) g(x, y') ≤ g(x, y). (33b)

В частности, (33b) верно при y' = y* и x = x*, так как при x = x* y' можно выбрать произвольно.

Рис.2

Рис.3

Поэтому из (33b) следует, что для любого y

g(x*, y*) ≤ g(x*, y). (34b)

Неравенства (34a) и (34b) вместе совпадают с двойным неравенством (12), т.е. пара стратегий x*, y* по определению является решением игры в смешанных стратегиях.

Если «принять на веру» утверждения 8  11 (доказательства которых достаточно просты), то вместе с предыдущими рассуждениями они доказывают существование решения в смешан-ных стратегиях любой игры размерности 22 для произвольной платёжной матрицы (18). Ко-нечно, этот факт сам по себе непосредственно следует из общего утверждения 6. Однако оно является типичной «теоремой существования», не объясняющей, как находить само решение.

Для игр размерности 22 ситуация другая. Числа x* и y* определены в явном виде:

x* = q₃  q₁, y* = q₂  q₁,

где числа q₁, q₂ и q₃ выражаются через элементы исходной платёжной матрицы (18) по форму-лам (24)  (26). Переходя обратно от задания смешанной стратегии одним числом (вероятнос-тью выбора 1-ой стратегии) к её заданию парами чисел (см. текст после формулы (20)), оконча-тельно получаем

= , = 1 , x* = ( , ); (35a)

= , = 1 , y* = ( , ). (35b)

При взгляде на формулы (35) возникает вопрос – что делать, если входящий в них делитель (24) окажется равным 0? Ведь на 0 делить нельзя! При этом число q₁, определяемое формулой (24), действительно может быть равным 0 – например, в платёжной матрице . Однако для платёжных матриц без седловой точки (а только такие матрицы здесь и рассматри-ваются) выражение (24) не равно 0 (см. 1-ую часть утверждения 11). Так что на 0 делить не придётся.

Таким образом, полностью решена задача нахождения решения матричной игры размер-ности 22 для произвольной платёжной матрицы (18). Если у игры есть решение в чистых стра-тегиях, то оно и является искомым решением. В том и только том случае, если такого решения нет, можно найти решение в смешанных стратегиях по формулам (35).

Пример 7. Рассмотрим матричную игру двух лиц со следующей платёжной матрицей: Q = . Найдём её решение. Поскольку у данной игры нет решения в чистых стратегиях, то воспользуемся формулами (35), положив q₁₁ = 6, q₁₂ = 2, q₂₁ = 5, q₂₂ = 8. Получим

= = = ; = = = ;

= 1 = 1  = ; = 1 = 1  = ; x* = ( , ); y* = ( , ) ■

Задание 3. Найти решения в следующих матричных играх (см. пример 7)

01	02	03	04	05	06	07
08	09	10	11	12	13	14
15	16	17	18	19	20	21
22	23	24	25	26	27	28

■

5.2. Игра размерности 2n. Рассмотрим произвольную матричную игру со следующей платёжной матрицей размерности 2n общего вида:

Q = . (36)

Оказывается, что для игр с платёжной матрицей вида (36) решение может быть найдено графо-аналитическим методом. Для простоты решение излагается для n = 4 в следующих двух примерах.

Пример 8. Найдём решение и цену игры с платёжной матрицей Q = . Преж-де всего проверим наличие (или отсутствие) решения в чистых стратегиях. В данном случае

max_i min_j q_ij = max{2, 4} = 4; min_j max_i q_ij = min{4, 8, 6, 6} = 4.

Так как max_i min_j q_ij = min_j max_i q_ij = q₂₁, то пара чистых стратегий 2, 1 является решением дан-ной игры. Как и в примере 6, представим эти чистые стратегии как смешанные: x = (0, 1); y = (1, 0, 0, 0). Ценой игры является общее значение максимина и минимакса, равное q₂₁ = 4 ■

Пример 9. Найти решение и цену игры с платёжной матрицей Q = . В этом случае та же самая проверка даёт

max_i min_j q_ij = max{3, 4} = 4; min_j max_i q_ij = min{6, 8, 6, 6} = 6.

Поскольку в данном случае max_i min_j q_ij < min_j max_i q_ij, то решений в чистых стратегиях нет.

Поэтому можно и нужно искать решение игры в смешанных стратегиях описанным ниже гра-фо-аналитическим методом.

Игрок A имеет только 2 чистых стратегии. Его задача состоит в максимизации своего выигрыша в зависимости от своей смешанной стратегии (x₁, x₂)

v(x₁, x₂) = (q_1j x₁ + q_2j x₂), (37)

где минимум берётся по 4-ём чистым стратегиям игрока B.

Так как x₂ = 1  x₁, то, обозначая x₁ через x, из (40) получаем выражение

v(x) = {(q_1j  q_2j) x + q_2j}. (38)

Таким образом, v(x) является минимумом четырёх линейных функций одной переменной x; можно начертить графики этих функций и затем максимизировать их минимум v(x) графичес-ким методом.

Нетрудно построить графики функций (q_1j  q_2j) x + q_2j, если заметить, что они должны проходить через точки (0, q_2j) и (1, q_1j). Эти графики изображены на рис.4. В данном случае имеем четыре прямых линии, нижняя огибающая которых v(x) выделена жирным. Высшая точ-ка функции v(x) находится на пересечении прямых y = 2x + 4 и y = 3x + 6, соответствующих 3-му и 4-му столбцам матрицы Q (напомним, что j-ая прямая по построению проходит через точ-ки (0, q_2j) и (1, q_1j)). Поскольку в данном случае ломаная v(x) состоит только из двух звеньев, со-единённых в точке D, то указанные два столбца находятся сразу. Если же точек, где соединяют-ся звенья ломаной, несколько, то надо взять ту из них, у которой ордината максимальна. Имен-но нахождение такой точки и делается графически. Большой точности в построениях не требу-ется, поскольку всё, что нужно – это найти те два столбца, которые соответствуют двум лини-ям, определяющим эту точку.

Далее для вычисления оптимальных смешанных стратегии надо рассмотреть 2×2 матрицу P, образованную найденными выше двумя столбцами. В данном случае это 3-ий и 4-ый столб-цы, а сама матрица имеет вид:

P =

(см. исходную матрицу Q). Для этой матрицы найдём решение в смешанных стратегиях спосо-бом, подробно описанном в примере 7. Имеем в данном случае q₁₁ = 6, q₁₂ = 3, q₂₁ = 4, q₂₂ = 6. Поэтому в силу формул (35)

Рис.4

= = = 0,4; = = = 0,6;

= 1 = 1  0,4 = 0,6; = 1 = 1  0,6 = 0,4.

Теперь вспоминаем, что в исходной матрице размера 2×4 у игрока A есть две чистых стратегии: выбор 1-й или 2-й строки. В данном случае имеем

x* = (0,4; 0,6).

У игрока B есть четыре чистых стратегии, соответствующие выбору одного из 4-ёх столбцов за-данной матрицы. Однако активными (т.е. отличными от 0) являются только те две стратегии, которые соответствуют выбранным (с помощью рисунка) столбцам. В нашем случае это столб-цы 3 и 4. Вероятность выбора 3-его и 4-го столбца была найдена выше: 0,6 и 0,4. Сама опти-мальная стратегия игрока B имеет вид

y* = (0; 0; 0,6; 0,4).

Цена игры V с исходной матрицей Q совпадает с ценой игры с матрицей P. В силу 3-ьей части утверждения 5 и формулы (9) получаем

V = ·6 + ·3 + ·4 + ·6 = 0,4·0,6·6 + 0,4·0,4·3 + 0,6·0,6·4 + 0,6·0,4·6 = 1,44 + 0,48 + 1,44 + 1,44 = 4,8 ■

Задание 4. Найти решение и цену в игре со следующей платёжной матрицей (см. примеры 8 и 9).

01	02	03	04	05
06	07	08	09	10
11	12	13	14	15
16	17	18	19	20
21	22	23	24	25
26	27	28	29	30
31	32	33	34	35
36	37	38	39	40
41	42	43	44	45
46	47	48	49	50

■

Во многих случаях удаётся упростить описанный выше поиск решения матричных игр с платёжной матрицей размерности 2n за счёт предварительного упрощения платёжной матри-цы способами, описанными в разделе 3. Проиллюстрируем это в следующем примере.

Пример 10. Рассмотрим матричную игру двух лиц со следующей платёжной матрицей размера 26: Q = . В данной матрице 1-ый, 3-ий и 4-ый столбцы домини-руемы 2-ым, 5-ым и снова 2-ым столбцами соответственно. После их удаления остаётся матри-ца P = , которая больше не упрощается. Номера её столбцов в исходной матрице та-ковы: (2, 5, 6).

Далее применим описанный в примере 9 графо-аналитический метод поиска решения к матрице P. Входящие в формулу (38) три линейные функции должны проходить через точки (0, q_2j) и (1, q_1j) (j = 1, 2, 3). С учётом матрицы P эти точки таковы:

(0, 2) и (1, 5); (0, 4) и (1, 1); (0, 3) и (1, 3).

Изобразим соответствующие отрезки на рис.5. Функция v(x), определённая формулой (38), пока-зана жирной линией. Эта линия состоит из двух отрезков, пересекающихся в точке D. Сами от-резки соответствуют 1-му и 2-му столбцам матрицы P. Матрица R, образованная этими столбца-ми, такова: R = . Аналогично тому, как это делалось в примере 9, находим

= = = 0,33; = = = 0,5;

= 1 = 1  0,33 = 0,67; = 1 = 1  0,5 = 0,5.

Поскольку рассмотренные два столбца были 2-ым и 5-ым в исходной матрице Q, получаем

x* = (0,33; 0,67) и y* = (0; 0,5; 0; 0; 0,5; 0) ■

Рис.5

Задание 5. Упростить платёжную матрицу и найти решение и цену игры в играх с матри-цами из задания 4 (см. пример 10) ■