3. Пропорциональное представительство

Суть пропорционального представительства состоит в выделении мест в сравнительно ма-лочисленном органе (парламенте, комитете, совете директоров и т.д.) пропорционально гораздо более значительным величинам (числу проголосовавших за ту или иную партию, количеству акций, имеющихся у той или иной группы акционеров и пр.). Рассмотрим иллюстративный при-мер, демонстрирующий рассматриваемые в данном разделе ситуации.

Пример 11. Наксон (Naxxon), Ароко (Aroco) и Евробайл (Eurobile) образовали консорци-ум для строительства морской нефтедобывающей платформы у побережья Африки. Компании решили сформировать совет из 9 членов для руководства проектом; число представителей каж-дой компании в совете должно быть пропорционально числу держателей акций. Наксон имеет 4700 держателей, Ароко  3700 держателей и Евробайл  1600 держателей.

Поскольку суммарное число держателей акций равно 10000, а Наксон владеет 4700 акций, то доля его представителей в совете должна составлять 4700 10000 = 47%, доля Ароко должна составлять 37% и доля Евробайла  16%. Для обеспечения точной пропорциональности Наксо-ну должно быть выделено 0,479 = 4,23 места в совете, Ароко – 0,379 = 3,33 места в совете и Евробайлу – 0,169 = 1,44 места в совете. Понятно, что все места розданы: 4,23+3,33+1,44=9. Также понятно, что невозможно иметь дробное число представителей в каком бы то ни было органе. Естественно возникает достаточно часто встречающаяся задача – как разделить места пусть не точно пропорционально (это почти всегда невозможно), но в каком-то смысле близко к пропорциональному делению ■

Одним из хорошо известных и достаточно важных примеров пропорционального предста-вительства представляет собой выделение в Палате Представителей Конгресса США числа мест различным штатам пропорционально численности их населения. Поскольку отцы-основатели желали обеспечить каждому гражданину равное представительство в управлении, они помести-ли требования к числу представителей от штатов в Конгрессе почти в самое начало конститу-ции Соединённых Штатов. В разделе 2 главы 1 говорится:

«Представительство и прямые налоги должны быть поделены между всеми штатами, ко-торые образуют Союз, в соответствии с численностью их населения. ... Эта численность должна быть определена в течении трёх лет после первого заседания Конгресса, и далее должна переоп-ределяться один раз в десять лет, как того требует соответствующий Закон.»

Пропорциональное распределение числа конгрессменов между штатами является не такой простой задачей, как может показаться. Как при делении десяти подарков между тремя малень-кими детьми, вопрос состоит в том, как решить, кому именно достанется дополнительное место в Конгрессе. Выступая в 1832 году в Палате Представителей, Даниэль Вебстер сказал:

«Конституция ... не требует идеальной пропорциональности между числом представите-лей и населением каждого штата, поскольку удовлетворить это требование невозможно, но тре-бует такой близости между соответствующими отношениями, какой только можно достичь.»

В данном разделе излагаются различные подходы к проблеме пропорционального предс-тавительства  как те, которые реально использовались в Конгрессе Соединённых Штатов, так и некоторые другие,  и даётся сравнительный анализ их достоинств и недостатков. Обращаем особое внимание на то, что сама по себе проблема пропорционального представительства воз-никает не только в выборных законодательных органах. Та же проблема возникает и при опре-делении состава правлений крупных компаний, где каждый член представляет акционеров с некоторым суммарным числом акций (как в примере 11); при слиянии компаний; в профсоюзах; в творческих и профессиональных организациях, и т.д.  словом, практически везде, где срав-нительно небольшой выборный или назначаемый орган представляет интересы различных групп людей. Как и в других разделах данной главы, речь идёт о правилах взаимодействия различных участников, которыми в данном случае являются большие группы людей, желающие иметь честное и справедливое (с их точки зрения) представительство.

3.1. Метод Гамильтона. Александр Гамильтон (1757  1804), один из наиболее активных разработчиков Конституции США, предложил метод, использованный при распределении мест в 1-го состава Конгресса (и ещё в течение 150 лет). Для изложения этого метода рассмотрим следующий иллюстративный пример.

Пример 12. Продолжение примера 11. Представим проведённые в примере 11 вычисления в следующей таблице. Однако ни одна компания не может иметь часть члена совета. Поэтому,

Таблица 10

Компания	Процент держа-телей акций	Пропорциональное число мест в совете	Число мест по ме-тоду Гамильтона
Наксон	47	0,479 = 4,23	4
Ароко	37	0,379 = 3,33	3
Евробайл	16	0,169 = 1,44	2
Всего	100	9,00	9

поскольку Наксону выделено ровно 4,23 члена, он будет иметь 4 или 5. Число 4 называется це-лой частью числа 4,23; 0,23  дробной частью числа 4,23. Если мы выделим каждой компании целую часть соответствующей ей доли, то (как следует из таблицы 10) Наксон будет иметь че-тырёх членов, Ароко  трёх и Евробайл  одного. Таким образом, всего имеется 8 членов вмес-то требуемых 9. Необходимо решить, какой компании отдать оставшееся место. Представляется достаточно разумным отдать это место Евробайлу, так как у него имеется наибольшая дробная часть  0,44. Таким образом, у Евробайл получает 2 места, Ароко  3 места и Наксон – 4 места, что показано в правом столбце таблицы 10 ■

Именно так, как в примере 12, работает метод Гамильтона и в общем случае. Прежде чем описать реализующий этот метод алгоритм, введём необходимые понятия стандартного дели-теля и стандартной квоты. Обозначим через s численность некоторой представляемой груп-пы, через t  общую численность всех представляемых групп, через n  общее число мест в представляющем эти группы органе. Понятно, что точное число x представителей от данной группы выражается простой формулой

x =  n = s  = . (9)

Величина , являющаяся знаменателем в правой части равенства (1), называется стандартным делителем, а число x в левой части равенства (1) называется стандартной квотой, соответствую-щей данной группе. В словесном виде:

стандартная квота = .

Применительно к американской конституции вместо общего термина «группа» можно говорить о штате и, соответственно, о населении штата, населении страны и Палате Представителей. В ситуациях типа рассмотренной в примерах 11 и 12 можно говорить о держателях акций из дан-ной фирмы, совете директоров, и т.д. Теперь можно дать описание алгоритма.

Алгоритм метода Гамильтона

1. Найти стандартные квоты для всех представляемых групп.

2. Для каждой стандартной квоты найти целую и дробную часть (напомним, что целой частью любого числа z называется максимальное целое число, не превосходящее данное число z, а дробной частью – разница между числом z и его целой частью).

3. Каждой представляемой группе выделить число мест, равное целой части стандартной квоты данной группы.

4. Занумеровать все группы в порядке убывания дробных частей стандартных квот.

5. Добавить одно место к числу ранее выделенных для группы мест, начиная с 1-ой (в по-строенном порядке) группы.

6. Добавления на шаге 5 прекращаются, как только суммарная численность выделенных мест окажется равной числу n – числу мест в данном органе, представляющим рассмот-ренные группы ■

Пример 13. Продолжение примеров 11 и 12. Предположим, что консорциум решил рас-ширить совет до десяти членов. Использование метода Гамильтона для распределения мест в совете, состоящем из десяти членов, проиллюстрировано в таблице 11.

Таблица 11

Компания	Процент держа-телей акций	Пропорциональное число мест в совете	Число мест по ме-тоду Гамильтона
Наксон	47	0,4710 = 4,7	4
Ароко	37	0,3710 = 3,7	4
Евробайл	16	0,1610 = 1,6	1
Всего	100	9,0	9

Заметим, что в данном случае Евробайл потерял одно место в совете, несмотря на то, что все доли держателей акций остались теми же, а число мест даже выросло ■

В 1881 Конгресс сделал удивительное открытие. Численный состав Палаты Представите-лей был увеличен с 299 человек до 300 (т.е. всего на одно место). При перераспределении мест методом Гамильтона оказалось, что Алабама вместо 8 мест получила 7, при расчётах, базирую-щихся на той же самой численности населения во всех штатах. Конечно, в этом нет ничего удивительного (тот же эффект имеет место в искусственном примере 13), но в Палате Предста-вителей США это случилось впервые. Более того, оказалось, что этот же эффект (получивший название Алабамского парадокса) повторился через несколько лет при увеличении численности Палаты Представителей с 359 до 360: одно место потерял Арканзас, то же самое случилось и со штатом Мэн.

Задание 4. Для данных, представленных в таблице 12, разделить пропорционально числу студентов заданное число преподавательских позиций по трём факультетам методом Гамильто-на.

Таблица 12

№ пп	Колледж	Образования	Свободных искусств	Бизнеса	Число позиций
01	Число студентов	940	1470	1600	13
02	Число студентов	940	1470	1600	14
03	Число студентов	940	1470	1600	15
04	Число студентов	940	1470	1600	16
05	Число студентов	940	1470	1600	17
06	Число студентов	940	1470	1600	18
07	Число студентов	2750	6040	3350	13
08	Число студентов	2750	6040	3350	14
09	Число студентов	2750	6040	3350	15
10	Число студентов	2750	6040	3350	16
11	Число студентов	2750	6040	3350	17
12	Число студентов	2750	6040	3350	18
13	Число студентов	3750	4040	5500	13
14	Число студентов	3750	4040	5500	14
15	Число студентов	3750	4040	5500	15
16	Число студентов	3750	4040	5500	16
17	Число студентов	3750	4040	5500	17
18	Число студентов	3750	4040	5500	18
19	Число студентов	4550	3100	1900	13
20	Число студентов	4550	3100	1900	14
21	Число студентов	4550	3100	1900	15
22	Число студентов	4550	3100	1900	16
23	Число студентов	4550	3100	1900	17
24	Число студентов	4550	3100	1900	18
25	Число студентов	3000	2200	1800	13
26	Число студентов	3000	2200	1800	14
27	Число студентов	3000	2200	1800	15
28	Число студентов	3000	2200	1800	16
29	Число студентов	3000	2200	1800	17
30	Число студентов	3000	2200	1800	18

3.2. Методы Джефферсона и Адамса. Эти два метода (связанные с именами 3-его и 2-го президентов США) используют вместо стандартного делителя (см. формулу (9)) его изменён-ное значение, называемое модифицированным делителем. При делении численности группы s на модифицированный делитель получаем модифицированную квоту (вместо стандартной квоты).

Идея метода Джефферсона такова: округлять все квоты (до целых чисел) в мéньшую сто-рону. Если сумма мест окажется меньше, чем заданное суммарное число мест n, то надо умень-шить модифицированный делитель (при этом, в силу формулы (9), модифицированные квоты увеличатся); если сумма мест окажется больше, чем суммарное число мест n, то надо увеличить модифицированный делитель (при этом, в силу формулы (9), модифицированные квоты умень-шатся). Подбираем модифицированный делитель так, чтобы сумма мест в конце концов оказа-лась равной заданному число мест n (это всегда возможно).

Идея метода Адамса такова: округлять все квоты (до целых чисел) в бóльшую сторону. Если сумма мест окажется больше, чем заданное суммарное число мест n, то надо увеличить модифицированный делитель (при этом, в силу формулы (9), модифицированные квоты умень-шатся); если сумма мест окажется меньше, чем суммарное число мест n, то надо уменьшить мо-дифицированный делитель (при этом, в силу формулы (9), модифицированные квоты увеличат-ся). Подбираем модифицированный делитель так, чтобы сумма мест в конце концов оказалась равной заданному число мест n (это всегда возможно).

Проиллюстрируем оба метода на следующем примере.

Пример 14. При указанных ниже данных разделим 16 преподавательских позиций методами Джефферсона и Адамса. Как уже говорилось, в методе Джефферсона вместо стандар-

Колледж	Образования	Свободных искусств	Бизнеса	Всего
Число студентов	800	1300	1100	3200

тного делителя D = (см. формулу (9)) используется его изменённое значение D_М, называемое модифицированным делителем. При делении численности s на модифицированный делитель (вместо стандартного делителя) получаем модифицированную квоту x_M (вместо стандартной квоты x).

Метод Джефферсона состоит из следующих шагов.

Шаг 0. Найти стандартный делитель D = .

Шаг 1. Выбрать модифицированный делитель D_М мéньшим, чем стандартный делитель.

Шаг 2. По формуле x_M = , полученной из формулы (9) подстановкой модифицированного делителя D_М и модифицированной квоты x_M вместо стандартного делителя и стандартной кво-ты, находим модифицированную квоту для всех колледжей.

Шаг 3. Округлить все найденные на шаге 2 квоты в мéньшую сторону.

Шаг 4. Если сумма округлённых квот окажется меньше, чем заданное суммарное число пози-ций n, то уменьшить модифицированный делитель и перейти к шагу 2. Если сумма округлён-ных квот окажется больше, чем заданное суммарное число позиций n, то увеличить модифици-рованный делитель и перейти к шагу 2. Если сумма округлённых квот окажется равной задан-ному суммарному числу позиций n, то округлённые квоты и представляют собой искомое рас-пределение позиций.

Шаг 5. Остановка алгоритма.

Последовательные вычисления для данного случая показаны в следующей таблице, которая последовательно заполняется сверху вниз:

Колледж	Образования	Свободных искусств	Бизнеса	Модифици- рованный делитель
Число студентов	800	1300	1100
Модифицированная квота	800:190≈4.21	1300:190≈6.84	1100:190≈5.79	190
Округлённая квота	4	6	5	15
Модифицированная квота	800:150 ≈5.33	1300:150≈8.67	1100:150≈7.33	150
Округлённая квота	5	8	7	20
Модифицированная квота	800:180 ≈4.44	1300:180≈7.22	1100:180≈6.11	180
Округлённая квота	4	7	6	17
Модифицированная квота	800:185 ≈4.32	1300:185≈7.03	1100:185≈5.95	185
Округлённая квота	4	7	5	16

Дадим необходимые пояснения. До начала заполнения таблицы выполняется шаг 0, т.е. вычис-ляется стандартный делитель D = . Поскольку в данном случае t = 3200, n = 16, то D = 200.

На шаге 1 положим D_М = 190 < 200 и запишем D_М = 190 в правую колонку таблицы сразу под за-головком столбца «Модифицированный делитель».

На шаге 2 произведём указанные в алгоритме вычисления и заполним верхнюю строку с именем «Модифицированная квота».

На шаге 3 округлим найденные на шаге 2 числа в сторону уменьшения и запишем их в следую-щую строку таблицы. Поскольку сумма 15 меньше заданного числа 16, то в соответствии с ша-гом 4 алгоритма уменьшим D_М, положив D_М = 150, и вернёмся к шагу 2.

На шаге 2 произведём указанные в алгоритме вычисления и заполним следующую строку с име-нем «Модифицированная квота».

На шаге 3 округлим найденные на шаге 2 числа в сторону уменьшения и запишем их в следую-щую строку таблицы. Поскольку сумма 20 больше заданного числа 16, то в соответствии с ша-гом 4 алгоритма увеличим D_М, положив D_М = 180, и вернёмся к шагу 2.

На шаге 2 произведём указанные в алгоритме вычисления и заполним следующую строку с име-нем «Модифицированная квота».

На шаге 3 округлим найденные на шаге 2 числа в сторону уменьшения и запишем их в следую-щую строку таблицы. Поскольку сумма 17 больше заданного числа 16, то в соответствии с ша-гом 4 алгоритма увеличим D_М, положив D_М = 185, и вернёмся к шагу 2.

На шаге 2 произведём указанные в алгоритме вычисления и заполним следующую строку с име-нем «Модифицированная квота».

На шаге 3 округлим найденные на шаге 2 числа в сторону уменьшения и запишем их в следую-щую строку таблицы. Поскольку сумма оказалась равной заданному числу 16, то в соответствии с шагом 5 алгоритма прекращаем вычисления. Последняя строка таблицы даёт распределение позиций методом Джефферсона

Конечно, неформальный подбор модифицированного делителя может показаться слишком уж неформальным. На самом же деле теория таких поисковых методов детально разработана. Известны точные оптимальные (по числу шагов) алгоритмы. Однако освоение этих методов оказывается значительно более трудоёмким, чем простой подбор, который всё же гарантиро-ванно (и обычно за 2-3 шага) приводит к правильному результату. Заметим также, что при вы-полнении подбора у нас всегда получается «вилка»: D_М = 190 даёт меньше позиций, чем надо, а D_М = 150 даёт больше позиций, чем надо. Это даёт гарантию, что «правильное» значение D_М будет больше, чем 150, но меньше, чем 190. Следующая точка 180 уменьшила интервал неопре-делённости: «правильное» значение D_М будет между 180 и 190. Действительно, очередное зна-чение 185 оказалось «правильным», т.е. приводящим к распределению всех позиций.

Метод Адамса отличается от метода Джефферсона только тем, что округления квот про-исходят путём увеличения до ближайшего целого, а не уменьшения, как в методе Джефферсо-на. Проиллюстрируем его использование на тех же исходных данных. Результаты вычислений будем записывать в аналогичную таблицу. Заметим, что стандартный делитель в этом случае является, естественно таким же самым, а в качестве начального значения возьмём D_М = 220 (бóльшее, чем стандартный делитель). Последовательные вычисления показаны в следующей таблице:

Колледж	Образования	Свободных искусств	Бизнеса	Модифици- рованный делитель
Число студентов	800	1300	1100
Модифицированная квота	800:220≈3.64	1300:220≈5.91	1100:220≈5	220
Округлённая квота	4	6	5	15
Модифицированная квота	800:210 ≈3.81	1300:210≈6.19	1100:210≈5.24	210
Округлённая квота	4	7	6	17
Модифицированная квота	800:215≈3.73	1300:215≈6.05	1100:215≈5.12	215
Округлённая квота	4	7	6	17
Модифицированная квота	800:218≈3.67	1300:218≈5.96	1100:218≈5.05	218
Округлённая квота	4	6	6	16

Обратим внимание, что распределения позиций, найденные методом Джефферсона и методом Адамса, не совпадают. Это не ошибка: речь ведь не идёт о разных методах решения одной и той же формальной задачи, а о разных формализациях самого понятия справедливости ■

Задание 5. Для данных, представленных в таблице 12, разделить пропорционально числу студентов заданное число преподавательских позиций по трём факультетам методом Джеффер-сона ■

Задание 6. Для данных, представленных в таблице 12, разделить пропорционально числу студентов заданное число преподавательских позиций по трём факультетам методом Адамса ■

Задание 7. Сравнить результаты деления позиций всеми тремя рассмотренными методами для одних и тех же исходных данных (вариантов), сведя ответы в таблицу. Есть ли варианты, когда все три ответа совпадут и когда все три ответа окажутся разными? ■

3.3. Метод Хантингтона-Хилла. Этот метод состоит в следующем. Обозначим через s_p численность p-ой группы, через k_p  число мест, выделенных этой группе в представительном органе. Отношение s_p к k_p представляет собой среднее число членов группы, приходящееся на одного представителя от данной группы. В идеале все эти числа должны совпадать; в реальнос-ти это невозможно, и их следует сделать как можно ближе друг к другу, в чём и состоит задача пропорционального представительства.

Положим _p = (p = 1, ..., m), где m  число групп. Пусть i и j  номера двух групп. По-ложим

M = min{_i, _j}, (10)

_ij = (i, j = 1, ..., m; i ≠ j). (11)

Величина _ij называется относительной несправедливостью для групп i и j. Распределение Хантингтона-Хилла определяется как такое распределение (т.е. набор чисел k₁, ..., k_m, в сумме равных n, где n  общее число мест), для которого величина принимает минимально возможное значение. Таким образом, распределение Хантингтона-Хилла минимизирует макси-мальную относительную несправедливость. Именно такой способ распределения мест между штатами в Палате Представителей принят в США с 1941 года, когда президент Франклин Дела-но Рузвельт подписал соответствующий закон.

На первый взгляд может показаться, что нахождение распределения Хантингтона-Хилла является вычислительно сложной задачей, требующей анализа всех возможных распределений и вычисления для каждого из них относительной несправедливости. Однако есть достаточно простой алгоритм, основанный на последовательном выделении мест для различных групп. Да-дим его описание.

Алгоритм Хантингтона-Хилла.

1. Выделить по одному месту каждой группе.

2. Для каждой группы подсчитать индекс Хантингтона-Хилла:

h = ,

где s – численность группы (например, население штата), k – число уже выделенных дан-ной группе мест.

3. Предоставить очередное место группе с максимальным индексом.

4. Если все места в представительном органе уже заполнены, то алгоритм прекращает ра-боту. В противном случае переходим на шаг 2 ■

Проиллюстрируем работу алгоритма Хантингтона-Хилла на данных из примера 11.

Пример 15. Напомним, что речь идёт о распределении 9 мест в совете пропорционально числу имеющихся у этих трёх компаний акций. Запишем исходные данные в первые три строки следующей таблицы 13:

Таблица 13

Компания	Наксон	Ароко	Евробайл
Процент акций	47	37	16
Начальное распределение 3-ёх мест	1	1	1
Индекс Хантингтона-Хилла	472/ (1*2) =1104,5	372/ (1*2) = 684,5	162 / (1*2) = 128
Распределение 4-ёх мест	2	1	1
Индекс Хантингтона-Хилла	472/ (2*3) ≈ 368	372/ (1*2) = 684,5	162 / (1*2) = 128
Распределение 5-и мест	2	2	1
Индекс Хантингтона-Хилла	472/ (2*3) ≈ 368	372/ (2*3) ≈ 228	162 / (1*2) = 128
Распределение 6-и мест	3	2	1
Индекс Хантингтона-Хилла	472/ (3*4) ≈ 184	372/ (2*3) ≈ 228	162 / (1*2) = 128
Распределение 7-и мест	3	3	1
Индекс Хантингтона-Хилла	472/ (3*4) ≈ 184	372/ (3*4) ≈ 114	162 / (1*2) = 128
Распределение 8-и мест	4	3	1
Индекс Хантингтона-Хилла	472/ (4*5) ≈ 110	372/ (3*4) ≈ 114	162 / (1*2) = 128
Распределение 9-и мест	4	3	2

Таким образом, при делении методом Хантингтона-Хилла получаем распределение (4,3,2). При делении методом Гамильтона получили такое же распределение (см. пример 12). Такое же рас-пределение получим методом Адамса. А метод Джефферсона даёт отличное от этого распреде-ление (5,3,1). Заметим также, что в данном алгоритме расчёт индекса на каждом шаге делается только для одной группы – именно, той, которой добавлено место на предыдущем шаге ■

Задание 8. Для данных, представленных в таблице 14, разделить пропорционально про-центу акций заданное число мест в совете четырьмя рассмотренными методами: Гамильтона, Джефферсона, Адамса и Хантингтона-Хилла. Ответы представить в небольшой таблице. Для образцов см. примеры 12 – 15.

Таблица 14

№ пп	Компания	Наксон	Ароко	Евробайл	Число мест в совете
01	Процент акций	20	50	30	8
02	Процент акций	20	50	30	9
03	Процент акций	20	50	30	11
04	Процент акций	40	20	40	8
05	Процент акций	40	20	40	9
06	Процент акций	40	20	40	11
07	Процент акций	50	40	10	8
08	Процент акций	50	40	10	9
09	Процент акций	55	35	10	10
10	Процент акций	10	60	30	8
11	Процент акций	10	60	30	9
12	Процент акций	10	60	30	10
13	Процент акций	35	35	30	8
14	Процент акций	35	35	30	9
15	Процент акций	35	35	30	10
16	Процент акций	30	40	30	8
17	Процент акций	30	40	30	9
18	Процент акций	30	40	30	11
19	Процент акций	25	35	40	8
20	Процент акций	25	35	40	9
21	Процент акций	25	35	40	10
22	Процент акций	50	25	25	8
23	Процент акций	50	25	25	9
24	Процент акций	50	25	25	10
25	Процент акций	15	45	40	8
26	Процент акций	15	45	40	9
27	Процент акций	15	45	40	10
28	Процент акций	20	25	55	8
29	Процент акций	20	25	55	9
30	Процент акций	20	25	55	10

■