Глава 4.1. Матричные игры

1. Понятие матричной игры

2. Решение игры

3. Удаление стратегий

4. Смешанное расширение матричных игр

5. Решение игр размерности 22 и 2n в смешанных стратегиях

6. Предметный указатель

1. Понятие матричной игры

В этой главе будет рассмотрена простейшая модель конфликтных ситуаций  матричные игры двух лиц. Изложим эту модель, учитывая, что некоторые её свойства присущи значительно более сложным конфликтам. Сначала дадим содержательное описание моделируемой ситуации.

В игре участвуют два игрока (скажем, A и B). У каждого игрока имеется конечное число воз-можных действий, которые обычно называются стратегиями. Природа этих действий может быть самой разнообразной, но сама по себе она не имеет значения. Каждый игрок выбирает одну из сво-их стратегий независимо от другого игрока. Реально это значит, что игрок A не знает, какую стра-тегию выбирает игрок B, а игрок B не знает, какую стратегию выбирает игрок A. После того, как оба выбора сделаны, игрок A получает выигрыш, зависящий от обеих выбранных стратегий. Если выигрыш  положительное число, то игрок B платит игроку A соответствующую сумму (в заранее обговорённой валюте); в противном случае игрок A платит игроку B. Игрок A стремится максими-зировать свой выигрыш, а игрок B стремится минимизировать свой проигрыш.

При формальном описании игры в силу конечности множеств стратегий у обоих игроков без ограничения общности можно считать, что сами стратегии задаются натуральными числами от 1 до m у игрока A и от 1 до n у игрока B. Поэтому выигрыш игрока A можно задавать платёжной матрицей Q размера m  n: если игроки выбрали стратегии i{1, ..., m} и j{1, ..., n}, то выигрыш игрока A равен числу q_ij  элементу матрицы Q, стоящему на пересечении i-ой строки и j-го столб-ца. Напомним, что проигрыш игрока B считается равным выигрышу игрока A. Можно считать, что выирыш игрока B при выборе стратегий i{1, ..., m} и j{1, ..., n} равен числу q_ij. Игры, в которых суммарный выигрыш всех игроков равен нулю, называются играми с нулевой суммой). Таким образом, матричная игра двух лиц является  по определению  игрой с нулевой суммой.

2. Решение игры

В матричной игре с платёжной матрицей Q игрок A стремится максимизировать свой выигрыш при любом выборе стратегии игроком B. Предположим, что он выбирает стратегию i{1, ..., m}. Поскольку игрок A не знает, какую именно стратегию (т.е. какой индекс j) выбрал игрок B, то всё, что он может себе гарантировать  это выгрыш в размере

g_i = . (1)

Естественно, что игрок A выберет такую стратегию i{1, ..., m}, которая максимизирует его гарантированный выгрыш g_i. Поэтому он выбирает стратегию i*, для которой

= . (2)

Заметим, что при любом i{1, ..., m} выражение , входящее в (2), не зависит от j. Поэтому значение зависит только от платёжной матрицы Q. Любая стратегия i*, удовлетво-ряющая условию (2), называется оптимальной стратегией игрока A (оптимальная стратегия i* может определяться неоднозначно, так как g_i может быть максимальным при различных i{1, ..., m}).

Проведённые рассуждения показывают, что именно должен делать игрок А, чтобы до-биться максимально возможного гарантированного выигрыша. Величина , которая определя-ется только по платёжной матрице Q, называется нижней ценой игры и обозначается через V^.

Игрок B стремится минимизировать свой проигрыш. Предположим, что он выбирает стра-

тегию j{1, ..., n}. Поскольку игрок B не знает, какую именно стратегию выбрал игрок А, то

всё, что он может себе гарантировать  это проигрыш в размере

f_j = . (3)

Естественно, что игрок B выберет такую стратегию j{1, ..., n}, которая минимизирует его га-рантированный выгрыш f_j. Поэтому он выбирает стратегию j*, для которой

= . (4)

Как и значение , значение зависит только от платёжной матрицы Q. Любая стратегия j*, удо-влетворяющая условию (4), называется оптимальной стратегией игрока B (оптимальная страте-гия j* может определяться неоднозначно, так как f_j может быть минимальным при различных j{1, ..., n}).

Проведённые рассуждения показывают, что именно должен делать игрок B, чтобы до-биться минимально возможного гарантированного проигрыша. Величина , которая определя-ется только по платёжной матрице Q, называется верхней ценой игры и обозначается через V⁺.

В силу теоремы о минимаксе (см. главу 3.1) для любой матрицы Q имеет место неравенст-во

≤ (5)

или, с учётом (2) и (4),

V^ ≤ V⁺.

Таким образом, гарантированный выигрыш игрока А не может быть больше гарантированного проигрыша игрока B.

В теории игр особенно важны те случаи, когда нижняя и верхняя цены игры совпадают. Общее значение V = V^ = V⁺. называется ценой игры. При этом имеет место следующее

Утверждение 1. 1) V^=V⁺ тогда и только тогда, когда некоторый элемент платёжной матрицы Q является одновременно максимальным в её i*-ой строке и минимальным в её j*-ом столбце, т.е. для любых i{1, ..., m} и j{1, ..., n}

≤ ≤ . (6)

2) цена игры V совпадает с ; 3) стратегии i* и j* являются оптимальными ■

Пара стратегий i*, j*, удовлетворяющих требованиям утверждения 1, может определять-ся неоднозначно. Однако для всех таких пар i*, j* элементы платёжной матрицы Q равны одному и тому же числу  цене игры V. Всякий элемент платёжной матрицы Q, который является одновременно максимальным в i*-ой строке и минимальным в j*-ом столбце, называ-ется седловой точкой матрицы Q.

Заметим, что в силу неравенств (6) любому игроку оказывается невыгодным менять опти-мальную стратегию, если другой игрок будет придерживаться своей оптимальной стратегии. Для игрока А это следует из 1-го неравенства, для игрока В  из 2-го неравенства. Именно в силу разумности одновременного выбора игроками в данной ситуации своих оптимальных стратегий, любая пара стратегий i*, j*, удовлетворяющих требованиям утверждения 1, называ-ется решением игры.

Решения существуют далеко не у всех игр рассматриваемого типа. Как выбирать страте-гии в случае отсутствия седловых точек у платёжной матрицы, будет показано в разделе 4 дан-ной главы.

Пример 1. Рассмотрим матричную игру двух лиц со следующей платёжной матрицей:

Q = . (7)

Найдём, в соответствии с формулами (1) и (2), оптимальные стратегии игрока А. По фор-муле (1)

g₁ = = min{7, 6, 5, 4} = 4;

g₂ = = min{1, 8, 2, 3} = 1;

g₃ = = min{8, 1, 3, 2} = 1.

По формуле (2) = max{4, 1, 1}, откуда следует, что оптимальная стратегия i* = 1 и нижняя цена игры V^= 4.

Найдём, в соответствии с формулами (3) и (4), оптимальные стратегии игрока В. По фор-муле (3)

f₁ = = max{7, 1, 8} = 8;

f₂ = = max{6, 8, 1} = 8;

f₃ = = max{5, 2, 3} = 5;

f₄ = = max{4, 3, 2} = 4.

По формуле (4) = min{8, 8, 5, 4} = 4, откуда следует, что оптимальная стратегия j* = 4 и верхняя цена игры V⁺= 4.

Таким образом, нижняя цена игры совпадает с верхней ценой. Как и должно быть по ут-верждению 1, цена игры 4 равна = q₁₄. Пара стратегий 1, 4 является решением игры и седловой точкой матрицы Q ■

Пример 2. Рассмотрим матричную игру двух лиц со следующей платёжной матрицей:

Q = , (8)

все элементы которой, кроме q₂₄, совпадают с соответствующими элементами платёжной матрицы из примера 1.

Найдём, в соответствии с формулами (1) и (2), оптимальные стратегии игрока А. По фор-муле (1)

g₁ = = min{7, 6, 5, 4} = 4;

g₂ = = min{1, 8, 2, 5} = 1;

g₃ = = min{8, 1, 3, 2} = 1.

По формуле (2) = max{4, 1, 1}, откуда следует, что оптимальная стратегия i* = 1 и нижняя цена игры V^= 4.

Найдём, в соответствии с формулами (3) и (4), оптимальные стратегии игрока В. По фор-муле (3)

f₁ = = max{7, 1, 8} = 8;

f₂ = = max{6, 8, 1} = 8;

f₃ = = max{5, 2, 3} = 5;

f₄ = = max{4, 5, 2} = 5.

По формуле (4) = min{8, 8, 5, 5} = 5, откуда следует, что множеством оптимальных страте-гий j* является множество {3, 4} и верхняя цена игры V⁺ = 5.

Таким образом, в данном случае, в отличие от примера 1, нижняя цена игры не равна верхней цене. Поэтому для данной платёжной матрицы Q решений игры, как и седловых точек, нет ■

Для любой матричной игры верно следующее

Утверждение 2. При прибавлении любого числа a (положительного или отрицательного) ко всем элементам платёжной матрицы Q множества оптимальных стратегий обоих игроков не изменяются, а нижняя и верхняя цена игры получены из исходных прибавлением того же числа a ■

В силу утверждения 2 существование решения игры также не зависит от прибавлении ко всем элементам платёжной матрицы Q произвольной константы.

Задание 1. В играх с указанными платёжными матрицами найти оптимальные стратегии обоих игроков, нижнюю и верхнюю цены игры. Указать решение игры, если оно есть; в противном случае явно указать на его отсутствие. В качестве образца см. примеры 1 и 2

15 20 25 19 17 15 21 18 30 19 27 10 19 20 25 01	20 25 15 25 10 19 20 9 27 14 37 20 19 19 15 02	14 16 30 25 18 19 18 15 24 15 10 27 26 6 -99 03
10 27 15 34 21 18 15 30 20 15 19 25 23 13 29 04	21 19 12 14 17 25 34 18 19 25 20 12 14 29 10 05	17 12 10 8 22 22 28 18 38 33 33 14 17 21 13 06
17 8 23 15 24 32 20 26 22 21 23 19 37 11 28 07	11 18 14 26 12 27 10 12 13 21 13 21 35 23 29 08	10 11 12 23 27 12 28 25 20 14 11 22 17 19 10 09
10 27 37 14 30 12 14 27 12 22 16 24 14 25 24 10	22 15 24 234 -23 24 22 26 22 15 14 0 13 24 22 11	25 19 16 25 19 27 10 8 18 30 15 20 30 15 21 12
16 8 15 20 30 18 24 22 18 965 12 21 30 25 15 13	25 19 21 14 25 18 30 19 15 20 30 25 30 15 210 14	8 13 24 24 16 30 15 27 26 8 22 22 31 13 30 15
27 12 14 25 8 14 25 10 27 20 22 18 12 14 17 16	15 20 25 19 17 15 21 18 30 19 27 10 19 20 25 17	20 25 15 25 10 19 20 9 27 14 37 20 19 19 15 18
14 16 30 25 18 -19 18 15 24 15 10 27 26 6 -90 19	30 27 15 34 21 18 15 30 20 15 19 25 23 13 29 20	21 19 12 14 17 25 14 18 19 25 20 12 14 29 10 21
17 12 10 80 22 22 28 18 38 33 33 13 17 21 13 22	17 8 27 15 24 32 20 26 22 21 23 19 37 11 28 23	11 18 14 26 12 27 10 12 13 21 13 21 35 27 29 24
10 11 12 13 27 12 28 25 20 14 11 22 17 19 30 25	10 27 15 34 21 18 -15 30 20 15 19 25 23 -13 29 26	21 -19 12 14 17 25 34 -18 19 25 20 12 14 -29 10 27
16 8 15 20 30 18 24 12 18 965 12 21 -30 25 15 28	25 19 21 14 25 18 30 -19 15 20 30 25 30 15 10 29	8 -13 24 24 16 30 15 -27 26 48 22 22 31 13 30 30

■