![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Е.Р.Ляликова, л.И.Спинко функции: предел и непрерывность
- •§1 Предел функции и числовой последовательности
- •Некоторые свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций.
- •1) Сумма.
- •2) Произведение.
- •3) Частное.
- •1.3 Раскрытие неопределенности вида ∞-∞.
- •1.4 Раскрытие неопределенности вида .
- •1.5 Вычисление пределов с помощью перехода к эквивалентным.
- •1.6 Вычисление пределов показательно-степенной функции.
- •§2 Непрерывные функции. Точки разрыва и их классификация
- •2.2 Классификация точек разрыва.
- •§3. Примеры для самостоятельного решения
- •3.1 Вычислить пределы
- •3.2 Вычислить:
- •3.3 Вычислить предел:
- •3.4 Вычислить предел:
- •3.5 Определить множество х, на котором функция непрерывна, найти точки разрыва и их классифицировать.
- •Содержание
- •§1. Предел функции и числовой последовательности…………………. 3
- •§2. Непрерывные функции. Точки разрыва и их классификация……….. 26
- •§3. Примеры для самостоятельного решения……………………………… 31
1.6 Вычисление пределов показательно-степенной функции.
Показательно
степенной функцией называется функция
вида
.
Чаще всего при вычислении пределов от
показательно степенной функции получаются
неопределенности
.
Так как о поведении такой функции в
общем случае ничего сказать нельзя (а
предел описывает поведение функции
вблизи заданной точки), то при вычислении
предела от такой функции рекомендуется
ее представить иначе, при помощи основного
логарифмического тожества:
.
Мы будем использовать частный случай
этой формулы
, здесь
-это
константа, приближенно равная 2,71, а
и называется натуральным логарифмом.
Используя такое представление, получим
(последнее
равенство справедливо в силу свойства
логарифмов
),
а это уже показательная функция. Теперь
достаточно знать к чему стремится ее
показатель, и будем знать, к чему стремится
сама функция. При этом могут возникнуть
следующие ситуации:
1)
если
конечен, то в силу непрерывности
показательной функции предел с самой
функции можно переносить на ее аргумент.
Тогда
;
2)
если
,
то получим ситуацию, которую символически
можно записать так:
.
Учитывая поведение показательной
функции, при условии, что ее показатель
стремится к +∞, получим
;
3)
если
,
то символически этот случай можно
записать следующим образом:
.
Учитывая поведение показательной
функции, получим
.
Пример
1.13. Вычислить
.
Решение.
При
дробь
,
так как
.
Тогда мы имеем неопределенность
и показательно степенную функцию по
условию. Прежде всего представим ее в
виде степенной на основании основного
логарифмического тождества, получим
Вычислим
предел от показателя отдельно. Заметим,
что в числителе и знаменателе дроби,
стоящей в аргументе логарифма стоят
многочлены первой степени, а, значит
такая дробь неправильная (неправильной
рациональной дробью называется дробь,
у которой числитель и знаменатель --
многочлены, причем старшая степень
числителя не меньше старшей степени
знаменателя). Из неправильной рациональной
дроби можно выделить целую часть:
(здесь мы использовали свойство почленного
деления дроби
).
Тогда
.
Заметим,
что
,
тогда аргумент логарифма представлен
в виде: единица плюс бесконечно малая
функция, а тогда логарифм имеет
эквивалентную функцию
,
то есть
.
В нашем пределе мы имеем право переходить
к эквивалентным, так как имеем дело с
произведением. Тогда получим
.
Окончательно
.
Пример
1.14. Вычислить
Решение. Как и в предыдущем примере, мы имеем дело с показательно-степенной функцией и неопределенностью . Перейдем снова к показательной функции, применив основное логарифмическое тождество:
Вычислим
предел от показателя отдельно. Выясним:
можно ли заменить логарифм эквивалентной
функцией. Это возможно тогда, когда
аргумент логарифма может быть представлен
в виде единица плюс бесконечно малая
функция.
.
Так
как
при
,
то аргумент логарифма представлен в
нужном виде , и, значит
.
Тогда
.
Окончательно
.