![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Е.Р.Ляликова, л.И.Спинко функции: предел и непрерывность
- •§1 Предел функции и числовой последовательности
- •Некоторые свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций.
- •1) Сумма.
- •2) Произведение.
- •3) Частное.
- •1.3 Раскрытие неопределенности вида ∞-∞.
- •1.4 Раскрытие неопределенности вида .
- •1.5 Вычисление пределов с помощью перехода к эквивалентным.
- •1.6 Вычисление пределов показательно-степенной функции.
- •§2 Непрерывные функции. Точки разрыва и их классификация
- •2.2 Классификация точек разрыва.
- •§3. Примеры для самостоятельного решения
- •3.1 Вычислить пределы
- •3.2 Вычислить:
- •3.3 Вычислить предел:
- •3.4 Вычислить предел:
- •3.5 Определить множество х, на котором функция непрерывна, найти точки разрыва и их классифицировать.
- •Содержание
- •§1. Предел функции и числовой последовательности…………………. 3
- •§2. Непрерывные функции. Точки разрыва и их классификация……….. 26
- •§3. Примеры для самостоятельного решения……………………………… 31
Некоторые свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций.
1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций при является бесконечно малой функцией при .
2. Произведение бесконечно малой при функции на функцию ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки , является бесконечно малой функцией при .
3. Сумма бесконечно больших одного итого же знака при функций есть бесконечно большая того же знака при функция.
4. Произведение бесконечно большой при функции и функции, имеющей предел, отличный от нуля при есть бесконечно большая при функция.
Теорема
1.1 о связи между бесконечно большими и
бесконечно малыми функциями. Если
функция
является бесконечно малой при
и
в
некоторой проколотой окрестности точки
,
то функция
является бесконечно большой при
.
И, наоборот, если функция
является бесконечно большой при
и
в
некоторой проколотой окрестности точки
,
то функция
является бесконечно малой при
.
Теорема
1.2 об арифметических операциях с
пределами. Пусть
-точка
сгущения множества Х. Если существует
конечные пределы
,
то
,
,
если
.
Итак, согласно этой теореме, если пределы двух функций конечны, то автоматически можно посчитать предел алгебраической суммы, произведения и частного (если предел знаменателя отличен от нуля). Рассмотрим те ситуации, которые исключены из условия этой теоремы.
1) Сумма.
А)
Если одно из слагаемых имеет конечный
предел (
),
другое – бесконечный (
),
тогда по свойству бесконечно больших
функций предел их алгебраической суммы
равен бесконечности. При помощи символов
это можно записать следующим образом:
.
Б)
Если оба слагаемых имеют бесконечные
пределы, то важно знать какого знака
эти пределы. Если обе функции имеют
бесконечные пределы одинаковых знаков
(
или
),
то по свойству бесконечно больших
функций предел их суммы будет равен
бесконечности того же знака.
.
Если обе функции являются бесконечно
большими разных знаков (
),
то ничего определенного о пределе их
суммы сказать нельзя (величина предела
зависит от конкретного примера), ∞-∞
-
неопределенность.
2) Произведение.
А)
Если один из множителей имеет конечный
предел, отличный от нуля, а другой
множитель стремится к бесконечности
(
),
то по свойству бесконечно больших
функций предел произведения равен
бесконечности:
.
Б)
Если оба множителя стремятся к
бесконечности (
),
то по свойству бесконечно больших
функций предел произведения равен
бесконечности, при чем со знаком плюс
(минус), если эти функции являются
бесконечно большими одного знака
(разного знака):
.
В)
Если же предел одного множителя равен
нулю, у другого бесконечности (
),
то ничего определенного о пределе их
произведения сказать нельзя:
-неопределенность.
3) Частное.
А)
Если
,
то предел их частного по теореме о связи
между бесконечно малыми и бесконечно
большими функциями будет равен
бесконечности:
,
так как
.
Б)
Если
,
то предел их частного по теореме о связи
между бесконечно малыми и бесконечно
большими функциями будет равен нулю:
.
Действительно,
С)
Если наоборот
,
то предел их частного равен бесконечности:
.
Д)
Если же обе функции стремятся к нулю
или бесконечности (
или
),
то ничего определенного о пределе их
частного сказать нельзя:
-
неопределенности.
Из всех выше проведенных рассуждений вытекают следующие ситуации (записанные в символьном виде), исключенные из теоремы об арифметических операциях с пределами, в которых можно дать ответ сразу:
(1)
(4)
(6)
(2) (5) (7)
(3) (8)
и
неопределенности:
.
Основная задача в этом разделе научиться раскрывать эти неопределенности. Рассмотрим ряд различных пределов и установим алгоритмы действий при той или иной неопределенности.
1.2
Раскрытие неопределенности вида
.
Для раскрытия такой неопределенности необходимо в числителе и знаменателе дроби вынести за скобки то слагаемое, которое растет быстрее других (в частности, для многочленов это означает вынести слагаемое в наибольшей степени в числителе и знаменателе).
Пример
1.1. Вычислить
предел числовой последовательности
.
Решение.
Мы
уже знаем, что числовая последовательность—это
частный случай функции, поэтому при
вычислении таких пределов мы можем
применять теорему об арифметических
операциях с пределами и все рассуждения
об исключительных ситуациях, проведенных
нами выше. Исходя из этого, чтобы вычислить
предел дроби, необходимо установить к
чему стремятся ее числитель и знаменатель.
Так как
,
то, очевидно, что
и
.
При достаточно больших
(уже при
будет
гораздо больше
и, следовательно,
.
Так же по свойствам бесконечно больших
функций
.
Получили, что числитель и знаменатель
дроби стремятся к бесконечности, а,
значит, мы имеем дело с неопределенностью
вида
.
Тогда, следуя рекомендации, приведенной
выше, нужно в числителе и знаменателе
вынести за скобку неизвестное в наибольшей
степени. В числителе –это
,
в знаменателе
.
Получим
Теперь в числителе и знаменателе стоит произведение, а значит, дробь можно сократить на их общий множитель , получим
Так
как
,
то из соотношения (7)
.
Тогда по теореме об арифметических
операциях с функциями, имеющими конечные
пределы
,
а
.
Следовательно, числитель полученной
дроби представляет собой произведение
бесконечно большой функции
и функции
,
имеющей конечный предел, отличный от
нуля. Тогда, учитывая соотношение (4)
числитель будет стремиться к ∞:
,
а знаменатель стремится к 100. Тогда вся
дробь, учитывая соотношение (8) будет
стремиться к бесконечности:
.
Итак, окончательно,
.
Пример
1.2. Вычислить
Решение.
При
и
.
Значит перед нами снова неопределенность
.
Поэтому нужно снова вынести за скобку
в числителе и знаменателе
в наибольшей степени. Для того чтобы в
числителе установить старшую степень,
представим каждое слагаемое в виде
степени:
.
Теперь видно, что старшая степень в
числителе
,
а в знаменателе
,
выносим их за скобку
Теперь
из соотношения (7)
,
а значит числитель
;
.
Тогда согласно (4) знаменатель
,
а вся дробь, учитывая (7)
.
Окончательно имеем
.
Пример
1.3. Вычислить
Решение.
Очевидно,
что при
числитель и знаменатель дроби стремятся
к бесконечности, следовательно, здесь
неопределенность
.
Снова в числителе и знаменателе нужно
выносить
в наибольшей степени. Так как выражение
в знаменателе содержит корень, то вынесем
в знаменателе старшую степень сначала
под корнем (выносим
),
получим
Далее
к полученному выражению применим
свойство арифметического корня
,
имеем
.
Теперь заметим, что в знаменателе два
слагаемых, у первого
порядок роста определяет
,
второе слагаемое—это константа 2(не
растет), поэтому старшая степень
знаменателя
,
в числителе, очевидно, тоже старшая
степень
.
Следовательно, выносим за скобку в
числителе и знаменателе дроби
,
получим
При
числитель
,
и знаменатель
,
а, значит, вся дробь стремится к 1.
Окончательно
.