![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Е.Р.Ляликова, л.И.Спинко функции: предел и непрерывность
- •§1 Предел функции и числовой последовательности
- •Некоторые свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций.
- •1) Сумма.
- •2) Произведение.
- •3) Частное.
- •1.3 Раскрытие неопределенности вида ∞-∞.
- •1.4 Раскрытие неопределенности вида .
- •1.5 Вычисление пределов с помощью перехода к эквивалентным.
- •1.6 Вычисление пределов показательно-степенной функции.
- •§2 Непрерывные функции. Точки разрыва и их классификация
- •2.2 Классификация точек разрыва.
- •§3. Примеры для самостоятельного решения
- •3.1 Вычислить пределы
- •3.2 Вычислить:
- •3.3 Вычислить предел:
- •3.4 Вычислить предел:
- •3.5 Определить множество х, на котором функция непрерывна, найти точки разрыва и их классифицировать.
- •Содержание
- •§1. Предел функции и числовой последовательности…………………. 3
- •§2. Непрерывные функции. Точки разрыва и их классификация……….. 26
- •§3. Примеры для самостоятельного решения……………………………… 31
1.4 Раскрытие неопределенности вида .
Для
раскрытия такой неопределенности нужно
в числителе и знаменателе дроби выделить
множитель вида
,
так как именно этот множитель при
дает ноль в числителе и знаменателе,
тем самым создавая неопределенность
.
Поэтому
необходимо разложить на множители
числитель и знаменатель дроби. Напомним
простейшие способы разложения на
множители:
1) Вынесение общего множителя за скобки.
2) Разложение по формулам сокращенного умножения
(1)
(2)
3) Разложение на множители квадратного трехчлена:
,
(3)
где
-корни
квадратного трехчлена, которые находятся
по формуле:
.
Пример
1.7. Вычислить
Решение.
Очевидно,
что при
и числитель, и знаменатель стремятся к
нулю. Поэтому имеем неопределенность
.
Значит, нам нужно разложить на множители
числитель и знаменатель. Для этого в
числителе применим формулу разности
квадратов, а в знаменателе формулу
разложения квадратного трехчлена на
множители. Найдем предварительно корни
квадратного трехчлена
.
.
Следовательно,
.
Тогда
и
Теперь
в числителе и знаменателе появился
общий множитель
.
Именно он создавал неопределенность
,
так как при
множитель
(в следствие этого и числитель, и
знаменатель стремятся к нулю). Сократим
дробь на
(это
можно сделать, так как
,
но
).
Тогда неопределенность уйдет, так как
у оставшейся дроби числитель будет
стремиться к 6, а знаменатель к 15 при
.
.
Пример
1.8 Вычислить
Решение.
При
числитель и знаменатель дроби стремятся
к нулю, следовательно, имеем неопределенность
.
Необходимо выделить в числителе и
знаменателе множитель
.
Для этого разложим знаменатель на
множители, используя формулу (3). Найдем
предварительно корни многочлена
:
;
.
Тогда
.
А в числителе избавимся сначала от
иррациональности, домножив и разделив
дробь на сопряженное выражение (как мы
поступали при неопределенности ∞-∞ в
пределах, содержащих квадратные корни).
Получим
1.5 Вычисление пределов с помощью перехода к эквивалентным.
Определение
1.5. Функции
и
называются эквивалентными при
,
если
.
В этом случае пишут
.
Ясно,
что предел дроби равен 1, тогда и только
тогда, когда числитель и знаменатель
имеют одинаковые пределы, то есть две
функции эквивалентны при
тогда и только тогда, когда
.
Эквивалентными являются следующие
функции:
Следует
отметить, что аргумент у функций,
приведенных в таблице эквивалентных,
может быть, вообще говоря, каким угодно,
необязательно
,
а какой-нибудь функцией
,
тогда, например,
будет эквивалентен своему аргументу
при
,
если
при
.
Иными словами, функции синус, тангенс,
арксинус, арктангенс эквивалентны при
своим аргументам, если аргументы
стремятся к нулю при
.
Тогда будем иметь: если
при
,
то
Имеет место
Теорема 1.3 о переходе к эквивалентным при вычислении пределов. При рассмотрении предела произведения или частного функций, эти функции можно заменять на эквивалентные вблизи точки рассмотрения, не изменив при этом существования и величины предела.
Пример
1.9. Вычислить
Решение.
При
числитель стремится к нулю (так как
),
знаменатель так же стремится к нулю. То
есть имеем дело с неопределенностью
,
поэтому, как уже отмечалось выше,
необходимо в числителе и знаменателе
выделить множитель
.
В числителе это можно сделать за счет
перехода к эквивалентным, если только
этот прием применим в нашем примере. Мы
уже отмечали, что, во-первых, к эквивалентным
можно переходить только в произведении
или дроби, и, во-вторых, синус эквивалентен
своему аргументу, только если аргумент
стремится к нулю при
(
из условия примера). Поэтому нам необходимо
проверить выполнение этих двух условий.
Первое, очевидно, выполнено (перед нами
по условию предел дроби). Второе условие
тоже выполняется, так как аргумент
синуса
при
.
Следовательно,
,
и можно заменить
на
.
Тогда, получим
После этой операции неопределенность никуда не исчезла (и числитель, и знаменатель по-прежнему стремятся к нулю), но числитель стал гораздо проще. Такого типа примеры мы уже рассматривали выше, и отмечали, что для того, чтобы избавиться от неопределенности, нужно числитель и знаменатель разложить на множители. Для этих целей в знаменателе применим формулу суммы кубов, а в числителе вынесем за скобку общий множитель 3. Имеем
.
Пример
1.10. Вычислить
Решение.
При
числитель стремится к нулю (так как
),
знаменатель так же стремится к нулю. То
есть имеем дело с неопределенностью
.
Пример содержит обратную тригонометрическую
функцию арктангенс. Можно ли его заменить
на эквивалентную? Аргумент арктангенса
при
,
но сам арктангенс включен в сложную
функцию (он еще возводится в квадрат).
В сложной функции переходить к
эквивалентным нельзя. Но так как вторую
степень можно представить в виде
произведения, а в произведении переход
к эквивалентным возможен, то и в нашем
случае арктангенс можно заменить на
эквивалентную:
.
Получили
.
То
есть, при замене на эквивалент функции,
стоящей в степени
N,
эквивалент наследует эту степень, то
есть тоже возводится в степень
.
(Заметим, что вообще говоря, последнее
утверждение справедливо не только для
натуральных показателей степени, но и
для любого
).
Тогда
Осталось
выделить множитель
в знаменателе. Для этого применим формулу
разности квадратов:
.
Пример
1.11. Вычислить
Решение.
Снова
имеем дело с неопределенностью
.
Так как перед нами дробь, а в числителе
стоит произведение, то в первом его
множителе можно перейти к эквивалентным,
если его аргумент стремится к нулю.
Действительно,
при
,
следовательно,
.
Поскольку
второй множитель
является
разностью, а в разности, не смотря на
то, что аргументы синусов стремятся к
нулю при
,
переходить к эквивалентным нельзя, то
первым делом нужно сделать из разности
произведение. Это можно сделать при
помощи формулы разности синусов
.
Вспомним заодно и другие формулы, позволяющие приводить сумму (разность) тригонометрических функций в произведение:
Итак,
по формуле разности синусов
.
Получили
произведение, в нем присутствует
,
аргумент
которого
при
,
следовательно,
.
Так как
при
,
то в произведении мы можем заменить
этот множитель его пределом (то есть
1), и это тоже будет считаться переходом
к эквивалентным. Действительно, если
,
то
,
а, значит,
.
Далее, знаменатель дроби, как уже отмечалось, стремится к нулю, значит там тоже нужно проводить преобразования, которые в первую очередь позволят избавиться от тригонометрической функции. Разность, стоящую в знаменателе, можно преобразовать по формуле:
.
Получим
.
Здесь
мы могли перейти к эквивалентным, так
как аргумент синуса
при
.
(Обратите внимание, аргумент синуса
наследовал степень синуса при замене
его на эквивалентные). Итак, возвращаясь
к примеру, имеем
.
Замечание. При решение этого примера мы обсудили такой момент, которым в дальнейшем будем пользоваться: если в произведении или дроби присутствует множитель, имеющий конечный предел, отличный от нуля (не создающий неопределенность), то можно этот множитель заменить его пределом, что будет также считаться переходом к эквивалентным.
Пример
1.12. Вычислить
Решение.
Так
как
и
,
то снова имеем неопределенность
.
И опять в первую очередь нужно избавиться
от тригонометрических функций. Несмотря
на то, что в числителе стоит
,
который присутствует в таблице
эквивалентных, и мы имеем дело с пределом
частного, переходить к эквивалентным
в числителе нельзя, так как аргумент
синуса не стремится к нулю при
.
Поэтому сначала преобразуем аргумент
так , чтобы он стал стремиться к нулю.
По условию примера он стремится к π,
тогда выражение
при
.
Следовательно, в аргументе у синуса
выполним следующие преобразования:
вычтем и прибавим, чтобы ничего не
изменилось π:
.
Затем с помощью формулы приведения
избавимся
от «лишнего» π, получим
.
Теперь
новый аргумент синуса стремится к нулю
и можно переходить к эквивалентным
.
Тригонометрической
функции косинус, стоящей в знаменателе,
в таблице эквивалентных нет, поэтому
нужно провести преобразования, которые
преобразуют косинус в синус, и
побеспокоиться о том, чтобы у полученного
синуса аргумент стремился к нулю. Сейчас
аргумент косинуса
при
.
Поэтому он будет стремиться к нулю,
если мы вычтем и прибавим (чтобы ничего
не изменилось)
:
.
От
«лишнего»
избавимся по формуле приведения
,
получим
.
Теперь
в знаменателе появится синус и его
аргумент
при
,
и , значит можно будет перейти к
эквивалентным
.
Тогда