Этап 2 – Построение искусственного базиса.

Алгоритм симплексного метода требует, чтобы в каждом уравнении, полученном в результате преобразований соответствующего неравенства присутствовала базисная переменная с коэффициентом +1, которую называют искусственной переменной, так как если таких переменные нет их вводят искусственно. Обозначим искусственные переменные Х₁₁, Х₁₂, Х₁₃, Х₁₄. они вводятся в уравнения.

1 1X₁+10X₂+18X₃+30X₄+52X₅+19X₆-X₇ +X₁₁=25000

39X₁+51X₂+76X₃+36X₄+19X₅+88X₆-X₈+X₁₂=18000

35X₁+49X₂+50X₃+24X₄+0X₅+57X₆-X₉+X₁₃=11000

5X₁+10X₂+0X₃+0X₄+0X₅+37X₆-X₁₀+X₁₄=4000

Для того чтобы, ограничения неравенства, построенные на первом этапе были справедливы необходимо, чтобы все искусственные переменные были равны нулю. Для того чтобы, последовательно исключить переменные из оптимального плана применяют следующие приёмы. Как и основные переменные, искусственные переменные представляют собой число зданий фиктивных серий Х11, Х12, Х13, Х14, в действительности они не существуют, но имеют такую большую стоимость, что если в план входит хотя бы одно такое здание, то это значение не позволяет целевой функции достигнуть минимума. Поэтому план может стать оптимальным только после того, как будут исключены все искусственные переменные. Поэтому коэффициенты при искусственных переменных целевой функции на много превосходит любой из основных переменных. Его обозначим М. В данной задачи целевая функция с учётом дополнительных и искусственных переменных будет иметь вид:

F=755,00X₁+1013,60X₂+1175,50X₃+700,60X₄+401,40X₅+2272,08X₆+МX₁₁+MX₁₂+МX₁₃+МX₁₄

(При расчёте на ПК для заданной задачи М принято равным 10000)

Этап 3 – Построение начальной симплексной таблицы.

Для расчетов симплексным методом коэффициенты целевой функции и ограничения, а также свободные числа ограничений записываются в начальную симплексную таблицу и на четвертом начинают её преобразование по определенным правилам вплоть до получения оптимального плана. Начальная симплексная таблица записывается следующим образом. В верхней строке записываются коэффициенты переменных Сj, а также дополнительных и искусственных переменных, во второй строке записываются значения всех переменных Хj. В строках 3-6, начиная с третьего столбца, записывается число квартир аi,j, а также коэффициенты при переменных в ограничениях. В нижней седьмой строке записывается значение целевой функции в столбце №3, а так называемые двойственные оценки, начиная со столбца №4 d1, d2, d3, … d14. В столбце №2 обозначенном Р0 записываются номера переменных, входящих в текущий план. Для первой таблицы это номера искусственных переменных Х11, Х12, Х13, Х14. В столбце Х0 записываем значения переменных, равные свободным значениям bi соответствующих ограничений. Эти значения представляют собой оптимальный план строительства. Номера переменных в столбце Р0 – это номера серий домов, входящих в план строительства, а числа в столбце Х0 – это количество этих домов.

Поскольку в начальной симплексной таблице Р0 указаны номера одних только искусственных переменных в последствии в процессе подсчета все они заменяются на фактические здания.

Задачи линейного программирования.

Оказывается что какая-нибудь из искусственных переменных входит в оптимальный план, то это значит противоречие ограничений этой задачи.

При ручном счете симплексной таблицы добавляется столбец С0 значение Н

Двойственные оценки dj записывается в нижней цифровой строке и вычисляется следующим образом: Элементы столбца С0 умножаются на соответствующие элементы столбца Xi полученное произведение складывается и вычитается величина Сj записанное в верхней строке. Величина каждой двойственной оценки dj показывает на сколько стоимость строительства, если в план строительства включить одно здание серии j это относится как к начальной симплексной таблице, так и к любой из преобразованных, в том числе к таблице содержащей оптимальный план.

Двойственные оценки в симплексном методе нужны для определения оптимального плана по правилам симплексного метода. План введенный в симплексную таблицу является оптимальным если двойственные оценки этой таблицы равны 0 либо отрицательны. Нижняя строка симплексной таблицы содержащая двойственные оценки называется целевой строкой. Ее элемент записывается в столбце Xo равен значению целевой функции, т.е. стоимости строительства или сумме произведений столбца Со стоимости здания на соответствующие элементы столбца Xo на их числа.

В двух последних столбцах симплексной таблицы α и β записываются вспомогательные числа требуемые для проведения 4-го этапа подсчета.