2. Определение оптимального плана жилищного строительства. Определение его стоимости.

Этап 1 – Преобразование ограничений неравенства в равенство.

Для цели перспективного строительства проводится выбор типовых и индивидуальных проектов и определяется число зданий для застройки. Для строительства планируется использовать типовые проекты 5 и 9 этажных зданий 6-ти типовых проектов, в которых планируется разместить в соответствии с результатами расчета потребности в жилище с учетом демографического состава населения города. Общая характеристика этих проектов приведена в таблице 2.1.

Таблица 2.1. – Общая характеристика проектов.

Номер серии	Этажность	Сметная стоимость			Число квартир с числом комнат
		Общая тыс. руб.	1м2 жилой площади, руб.	1м2 полезной площади, руб.
					1	2	3	4
2 3 4 5 6 7	5 5 9 5 9 9	755,00 1013,60 1175,50 700,60 401,40 2272,08	258,10 262,40 261,20 278,00 313,00 318,80	135,00 156,30 151,80 164,20 168,00 194,50	11 10 18 30 52 19	39 51 76 36 19 88	35 49 50 24 0 57	5 10 0 0 0 37

Выбор количества проектов зданий из таблицы 2.1. для включения в план строительства определяется экономической целесообразностью; количество и технические параметры зданий примерно одинаковые. Мерой экономической целесообразности этих зданий считают их сметную стоимость.

Обозначим как Х1, Х2, … Х6 – число зданий соответствующего типа, включаемых в план строительства, а С1, С2, … С6 – сметная стоимость строительства одного здания.

С1=755,00 тыс. руб.,

С2=1013,60 тыс. руб.,

С3=1175,50 тыс. руб.,

С4=700,60 тыс. руб.,

С5=401,40 тыс. руб.,

С6=2272,08 тыс. руб.

Стоимость строительства Х1 зданий серии №7 - Х1*С1

Стоимость строительства Х2 зданий серии №6 – Х2*С2

Стоимость строительства Х3 зданий серии №5 – Х3*С3

Стоимость строительства Х4 зданий серии №4 – Х4*С4

Стоимость строительства Х5 зданий серии №3 – Х5*С5

Стоимость строительства Х6 зданий серии №2 – Х6*С6

Общая сметная стоимость составит

Числа Х1, Х2, … Х6 неизвестны, надо найти их значения, чтобы суммарная стоимость строительства при заданных потребностях в квартирах стремилась к минимуму.

Функция является целевой функцией задачи, значение переменной Хi, где i=1…6, при которых значение целевой функции F будет минимальным, будет составлять оптимальное решение задачи.

Для конкретной задачи оптимальное решение должно являться одновременно оптимальным планом жилищного строительства и планом имеющим минимальную стоимость строительства всех планов удовлетворяющих расчетную потребность в 1, 2, 3 и 4 комнатных квартирах. Кроме целевой функции необходимо записать ограничения, которые должны удовлетворять переменной Х1, Х2, … Х6. Эти ограничения связаны с заданными потребностями в квартирах различных типов. В качестве первого ограничения принимаем требуемое количество однокомнатных квартир, которое может быть получено при строительстве выбранных на перспективу проектов. Таким образом, общее число однокомнатных квартир составит: 11Х1+10Х2+18Х3+30Х4+52Х5+19Х6

По условиям задачи квартир этого типа должно быть не менее 25000.

Если обозначить аi,j, где i=1,2,3,4, j=1,2,3,4,5,6 и bi – как потребность в квартирах, а аi,j – как число квартир, то ограничения на число квартир, требуемых в результате строительства будет иметь следующий вид:

Если к перечисленным ранее условиям добавить требования неотрицательных переменных Х1, Х2, … Х6, так как строящиеся дома не могут быть отрицательными, то Хj>0. Эти условия определяют типичную задачу линейного программирования. Математическая формула этой задачи, то есть целевая функция ограничений будет иметь вид.

F=755,00X₁+1013,60X₂+1175,50X₃+700,60X₄+401,40X₅+2272,08X₆

1 1X₁+10X₂+18X₃+30X₄+52X₅+19X₆≥25000

39X₁+51X₂+76X₃+36X₄+19X₅+88X₆≥18000

35X₁+49X₂+50X₃+24X₄+0X₅+57X₆≥11000

5X₁+10X₂+0X₃+0X₄+0X₅+37X₆≥4000

В математической формулировке задачи данной таблицы 2.1 относящиеся к этажности и стоимости 1 м2 жилой полезной площади не используется. Они только характеризуют данные типовых проектов.

Составление оптимального плана жилищного строительства и определение его стоимости производится с помощью симплексного метода, который относится к математическому программированию и исследованию операций. По правилам этого метода производится последовательное преобразование симплексных таблиц. Преобразование имеет следующий алгоритм:

Этап 1 – преобразование ограничений неравенства в равенство.

Этап 2 – построение искусственного базиса.

Этап 3 – заполнение начальной симплексной таблицы.

Этап 4 – преобразование таблиц для получения оптимального плана.

Этапы 1, 2 и 3 производятся вручную, этап 4 на ПК по стандартным программам для решения задач линейного программирования симплексным методом.

Ограничение задачи имеет вид неравенств. Чтобы преобразовать их в равенства из левых частей этих ограничений вычитается некоторое положительное число значение которого неизвестно, поэтому в симплексном методе их обозначают также как и прочие неизвестные Х. В качестве индексов неизвестных используются номера следующие за последним фактическим номером. В данной задаче фактический номер равен 6. Такие неизвестные называют дополнительными переменными.

1 1X₁+10X₂+18X₃+30X₄+52X₅+19X₆-X₇=25000

39X₁+51X₂+76X₃+36X₄+19X₅+88X₆-X₈=18000

35X₁+49X₂+50X₃+24X₄+0X₅+57X₆-X₉=11000

5X₁+10X₂+0X₃+0X₄+0X₅+37X₆-X₁₀=4000

Как постоянные, так и дополнительные переменные считаются равноправными. Дополнительная переменная участвует и в целевой функции задачи, она входит туда с нулевыми показателями. После проведения расчета оптимального плана симплексным методом может оказаться, что в оптимальный план войдут одна или несколько дополнительных переменных. Таким образом левая часть будет отличаться на Х7 = 3163, то есть в тех домах, которые будут построены по оптимальному плану будут содержать однокомнатных квартир на 3163 больше, чем требуется по условию задач.

Таким образом значение дополнительной переменной показывает избыток квартир соответствующего типа. Тем самым дополнительные переменные введенные формально по математическим соображениям получают экономическую интерпретацию, отличающуюся от интерпретации основных переменных, каждая из которых представляет число строящихся зданий.