1.7.2. Обобщенное окно Хэмминга
Формула обобщенного окна Хэмминга имеет вид
причем,
лежит в пределах
.
Случай
соответствует окну Ханна, а случай
–
окну Хэмминга.
Обобщенное окно Хэмминга для всех n может быть представлено в виде формулы
Следовательно, частотная
характеристика обобщенного окна Хэмминга
равна круговой свертке частотной
характеристики прямоугольного окна
с последовательностью импульсов и может
быть записана в виде
откуда
Ширина главного лепестка
частотной характеристики окна Хэмминга
в два раза больше, чем для прямоугольного
окна. Уровень боковых лепестков в случае
окна Хэмминга значительно ниже, чем у
характеристики прямоугольного окна.
Боковые лепестки функций
находятся в противофазе с боковыми
лепестками
,
поэтому общий уровень боковых лепестков
значительно уменьшается.
1.7.3. Окно Блэкмана
Функция окна Блэкмана подобна функциям окон Ханна и Хэмминга и определяется выражением
Дополнительный косинусоидальный компонент обеспечивает еще более значительное уменьшение пульсаций Гиббса. Ширина главного лепестка увеличивается и оказывается в три раза больше, чем у прямоугольного окна.
1.7.4. Окно Кайзера
Задача расчета хороших окон фактически сводится к математической задаче отыскания ограниченных во времени функций, преобразование Фурье которых наилучшим образом аппроксимируют функции, ограниченные по частоте, т. е. имеющие минимальную энергию за пределами заданного интервала частот. При решении этой задачи в замкнутой форме для непрерывных функций времени был выведен класс так называемых вытянутых сфероидальных волновых функций. Эти функции имеют достаточно сложный вид, поэтому Кайзер в качестве наилучшего окна предложил относительно простую аппроксимацию этих функций. Эта аппроксимация, названная окном Кайзера, имеет вид
где
– константа, определяющая компромисс
между максимальным уровнем боковых
лепестков и шириной главного лепестка
(или долей энергии в главном лепестке)
частотной характеристики окна;
– функция Бесселя нулевого порядка.
Частотная характеристика дискретного окна Кайзера в замкнутой форме не получена, но Кайзер показал, что для непрерывной функции окна частотная характеристика пропорциональна
,
где величина
приблизительно равна ширине главного
лепестка частотной характеристики.
Окно Кайзера является, по существу, оптимальным окном в том смысле, что оно представляет собой последовательность конечной длины, которая имеет минимум энергии спектра за пределами некоторой заданной частоты.
Оконные функции имеют исключительную важность в спектральном анализе сигналов. Статью, посвященную использованию оконных функции при спектральном анализе на ограниченном интервале времени можно почитать здесь. В данном приложении мы приведем выражения для некоторых оконных функций, а также их внешний вид во временной и частотной областях.
Обобщим основные частотные
характеристики спектра оконной функции,
позволяющие сравнивать
различные окна между собой. Для этого
рассмотрим нормированную амплитудно-частотную
характеристику
оконной функции, представленную на
рисунке 7.
Рисунок
7 - Нормированная АЧХ оконной функции
Нормирование амплитуды
производится для учета коэффициента
ослабления
:
.
Таким образом, все АЧХ будут иметь
максимум равный единице (0 дБ) на нулевой
частоте. Поскольку ширина главного
лепестка зависит от длительности окна
во времени (рисунок 2), то введена
нормировка частоты:
.
(7)
Таким образом, форма нормированной АЧХ оконной функции не будет меняться при изменении длительности окна. Тогда можно ввести следующие нормированные параметры:
1. Нормированная ширина
главного лепестка АЧХ по уровню 0,5 (-3
дБ)
определяется как нормированная полоса
при которой
дБ.
2. Нормированная ширина
главного лепестка АЧХ по нулевому уровню
.
Согласно рисунку 5
.
3. Максимальный уровень боковых
лепестков
.
Можно заметить, что
прямоугольного окна равна 2. Тогда можно
ввести параметр, показывающий во сколько
раз нормированная ширина главного
лепестка АЧХ по нулевому уровню
заданного окна шире чем
прямоугольного окна.
Обозначим этот параметр как
.
В зависимости от параметра
окна делят на окна высокого разрешения
и окна низкого разрешения
В таблице 1.1 приведены выражения для некоторых оконных функций.
Таблица 1.1. Выражения для некоторых оконных функций
Наименование окна |
Выражение в дискретном виде:
|
Примечание |
Прямоугольное окно (rectangle window) |
|
Окно высокого разрешения минимальная ширина главного лепестка, но максимальный уровень боковых лепестков |
Синус-окно |
|
Окно высокого разрешения |
Окно Ланкзоса (Lanczos window), или sinc - окно |
|
Окно высокого разрешения |
Окно Барлетта (Bartlett window), или треугольное окно |
|
Окно высокого разрешения |
Окно Ханна (Hann window) |
|
Окно высокого разрешения |
Окно Барлетта — Ханна (Bartlett–Hann window) |
|
Окно высокого разрешения |
Окно Хемминга (Hamming window) |
|
Окно
высокого разрешения. Наилучшее окно
при
|
Окно Блэкмана (Blackman windows) |
|
Окно высокого разрешения. |
Окно Блэкмана — Харриса (Blackman–Harris window) |
|
Окно низкого разрешения |
Окно Наталла (Nuttall window) |
|
Окно низкого разрешения |
Окно Блэкмана — Наталла (Blackman–Nuttall window) |
|
Окно низкого разрешения |
Окно с плоской вершиной (Flat top window) |
|
Окно низкого разрешения |
Окно Гаусса (Gauss window) |
|
Свойства
окна зависят от параметра
|
Свойства оконных функций приведенных в таблице 1.1 приведены в таблице 1.2.
Таблица 1.2. Свойства некоторых оконных функций
Наименование окна |
|
|
|
|
|
Прямоугольное окно (rectangle window) |
2 |
0,89 |
1 |
-13 |
0 |
Синус-окно |
3 |
1,23 |
1,5 |
-23 |
-3,93 |
Окно Ланкзоса (Lanczos window), или sinc - окно |
3,24 |
1,3 |
1,62 |
-26,4 |
-4,6 |
Окно Барлетта (Bartlett window), или треугольное окно |
4 |
1,33 |
2 |
-26,5 |
-6 |
Окно Ханна (Hann window) |
4 |
1,5 |
2 |
-31,5 |
-6 |
Окно Барлетта — Ханна (Bartlett–Hann window) |
4 |
1,45 |
2 |
-35,9 |
-6 |
Окно Хемминга (Hamming window) |
4 |
1,33 |
2 |
-42 |
-5,37 |
Окно Блэкмана (Blackman windows) |
6 |
1,7 |
3 |
-58 |
-7,54 |
Окно Блэкмана — Харриса (Blackman–Harris window) |
8 |
1,97 |
4 |
-92 |
-8,91 |
Окно Наталла (Nuttall window) |
8 |
1,98 |
4 |
-93 |
-9 |
Окно Блэкмана — Наталла (Blackman–Nuttall window) |
8 |
1,94 |
4 |
-98 |
-8,8 |
Окно с плоской вершиной (Flat top window) |
10 |
3,86 |
5 |
-69 |
0 |
Окно Гаусса (Gauss window)
|
8 |
1,82 |
4 |
-65 |
-8,52 |
Окно Гаусса (Gauss window)
|
3,4 |
1,2 |
1,7 |
-31,5 |
-4,48 |
Окно Гаусса (Gauss window)
|
2,2 |
0,94 |
1,1 |
-15,5 |
-0,96 |
