Аппроксимация по Кауэру. Эллиптический фильтр.

Можно заметить, что АЧХ фильтра Чебышева первого рода носит колебательный характер в полосе пропускания и максимально-гладкая в полосе заграждения, в то время как АЧХ фильтра Чебышева второго рода наоборот колеблется в полосе заграждения и максимально-гладкая в полосе пропускания. Однако есть еще один класс фильтров АЧХ, которых носит колебательный характер, как в полосе пропускания, так и в полосе подавления. Это эллиптические фильтры, или как их еще называют фильтры Кауэра (в отечественной литературе часто их еще называют фильтрами Золотарева-Кауэра). Аппроксимирующая функция фильтров Кауэра представляет собой эллиптическую дробно-рациональную функцию , зависящую от параметра выражения (3.5). Квадрат модуля АЧХ фильтра Кауэра представляет собой:

(3.18)

Если увеличивать до бесконечности уровень подавления в полосе заграждения , т.е. устремить к нулю, то дробно-рациональная эллиптическая функция переходит в многочлен Чебышева, а фильтр Кауэра соответственно в фильтр Чебышева первого рода.

Передаточная характеристика нормированного ФНЧ запишется в виде:

(3.19)

;

; ; ; ; .

где , , может принимать значения 0 или 1.

Обобщим все вышесказанное. Фильтр Баттерворта обладает самой широкой переходной полосой среди всех фильтров, но у него максимально-гладкая АЧХ. Внесение в АЧХ фильтра Баттерворта колебаний приводит к фильтрам Чебышева, переходная полоса которых чуже чем у фильтра Баттерворта. Так равноволновые колебания в полосе пропускания приводят к фильтрам Чебышева первого рода, а равноволновые колебания в полосе заграждения к фильтрам Чебышева второго рода. Внесение равноволновых колебаний как в полосу пропускания, так и в полосу заграждения АЧХ приводит к эллиптическому фильтру с минимальной переходной полосой. При этом, как мы заметили, для разной аппроксимации задаются различные исходные данные для расчета. Это хорошо видно из таблицы ниже:

Таблица 3.1

Тип фильтра	Порядок фильтра	Неравномерность в полосе пропускания	Уровень подавления в полосе заграждения
Баттерворта	Да	Нет	Нет
Чебышева первого рода	Да	Да	Нет
Чебышева второго рода	Да	Нет	Да
Эллиптический	Да	Да	Да

Кроме того, можно рассчитать любой фильтр путем задания «коридора АЧХ» и расчета порядка фильтра через уравнение (3.6). Решим уравнение (3.6) для заданного коридора АЧХ для каждого из фильтров.

Сравнение порядков фильтров при различных способах аппроксимации ачх. Решение уравнения порядка фильтра.

Порядок фильтра Баттерворта рассчитывается из уравнения:

(3.20)

Прологарифмируем правую и левую части уравнения и получим:

(3.21)

Порядок фильтра Чебышева как первого рода, так и второго рассчитывается из уравнения:

(3.22)

Откуда можно выразить:

(3.23)

Обратите внимание, что под арккосинусами оба отношения больше единицы, тогда арккосинус аргумента большего единицы возвращает комплексное значение, при этом известно, что арккосинус любого комплексного аргумента равен:

(3.24)