Пример 1.4

Бросание кубика (игральной кости). Друг предлагает вам пари: вы платите ему $9.00. , а затем бросают игральную кость. Если выпадает 3, 4, 5 или 6, то ваш друг платит вам $15,00. Если выпадает 1 или 2, то он не платит вам ничего. Кроме того, ваш друг согласится повторить эту игру столько раз, сколько вы захотите .

Вопрос 1.2: Вы согласны играть в эту игру?

Если кубик обычный, то с вероятностью 1/6 будет выпадать любая указанная грань. Таким образом, существует вероятность 4/6 (= 2/3) того, что выпадает 3, 4, 5 или 6 и вы выиграете. Рисунок 1.3 показывает дерево решений для одной игры этой игры.

На первый взгляд, это выглядит хорошим выбором, так как хотя вы можете потерять $9.00, в то время как вы можете выиграть только $6,00. Тем не менее, вероятность выигрыша $6,00 на 2/3, а вероятность потери $9,00 только 1/3. Возможно, это не такая уж плохая ставка, в конце концов, так как вероятность выигрыша больше, чем вероятность проигрыша.

Ключ в логическом анализе этого решение состоит в том, что ваш друг позволит вам играть в эту игру столько раз, сколько вы хотите. Например, как часто вы бы рассчитывали на победу, если вы играете в эту игру 1500 раз? На основании того, что вы знаете о вероятности, вы знаете, что доля игр, в которых вы выиграете в долгосрочной перспективе, примерно равна вероятности выигрыша одной игры. Таким образом, из 1,500 игр можно ожидать выиграть примерно (2/3) х 1, 500 = 1000 раз. Таким образом, за 1500 игр можно ожидать выигрыш в общей сложности около 1000 * $6 + 500 * (- $ 9) = $ 1500. Так что эта игра выглядит как хорошая сделка!

Исходя из этой логики, сколько стоит тогда каждая игра? Если 1500 игр дают $ 1500, то одна игра должна стоить $ 1500 / 1500 = $ 1.00. Другими словами, вы будете получать в среднем 1,00$ каждый раз, когда вы играете в игру.

Немного подумав о логике этих расчетов, становится ясно, что можно непосредственно определить средний выигрыш от одной игры путем умножения каждого возможного выигрыша от игры на его вероятность, а затем суммировать все результаты. Для игры с подбрасыванием кубика этот расчет дает (2/3) х $6 + (1/3) х (-$9) = $1.0.

Порядок расчета, показанный в примере 1.4, называется ожидаемое значение (Expected Value) для альтернатив, как показано далее в определении 1.2. Ожидаемое значение часто является хорошей мерой для оценки стоимости альтернатив, поскольку в долгосрочной перспективе это средняя сумма, которую вы ожидаете при выборе той или иной альтернативы.

Определение 1.2: Ожидаемое значение (Expected Value)

Ожидаемое значение альтернативы, имеющей неопределенность, рассчитывается путем умножения каждого из возможных ее исходов на его вероятность, и суммированием полученных результатов. Критерий решения на основе ожидаемого значения выбирает альтернативу, которая имеет лучшие значение Expected Value. В ситуациях, связанных с прибылью, где "чем больше, тем лучше" вариант с самым высоким ожидаемым значением является лучшим, а в ситуациях, связанных с затратами, где "чем меньше, тем лучше», лучшим является вариант с самым низким ожидаемым значением.