- •Глава 6. Дифференциальное исчисление
- •§1. Производная функции
- •Правила дифференцирования
- •§2. Задачи, приводящие к понятию производной функции
- •§3. Дифференциал функции
- •§4. Основные теоремы о дифференцируемых функциях
- •§5. Исследование функций на монотонность и экстремум
- •Задачи на экстремум.
- •§6. Исследование функции на вогнутость и точки перегиба
- •Построение графиков функций
- •Упражнения
Построение графиков функций
Для построения графика функции y = f(x) нужно последовательно выполнить шаги, указанные в следующих пунктах.
1). Найти область определения функции и исследовать поведение функции на границах этой области и в окрестностях точек разрыва.
2). Найти асимптоты в случае их существования.
3). Выяснить четность и нечетность функции и ее периодичность.
4). Исследовать функцию на монотонность и найти точки экстремума.
5). Определить направление вогнутости и найти точки перегиба.
6). Найти точки пересечения графика с осями координат и некоторые дополнительные точки графика.
7). Результаты исследования и найденные точки изобразить в системе координат и можно строить график.
Пример 18. Исследовать функцию у = 3х5 5х3 и построить ее график.
Решение. 1). Указанные в формуле 3х5 5х3 действия можно производить над любыми числами, поэтому функция всюду определенная и ее область определения равна . Исследуется поведение функции при х . Для этого функция преобразуется к виду у = х3(3х2 5). Тогда легко видеть, что если x , то х3 (+)3 = + и (3х25) 3()2 5 = +, следовательно, у . Если же x то х3 3 = и (3х2 5) 2, следовательно, у
Таким образом, при х у и при х у В декартовой системе координат эту ситуацию можно изобразить, напри-
м ер, точками Р1(+8; +8), Р2(8; 8) и временно считать что график функции проходит через эти точки.
3). Проверется нечетность функции: f(x) = 3(х)5 5(х)3 = 3х5 + 5х3 = (3х55х3) = f(x). Это означает, что функция нечетная, ее график симметричен относительно начала координат. Данная функция состоит из непериодических функций, поэтому она непериодическая.
4). Вычисляется производная: у= 3(х5) 5(х3) = 15х4 15х2. Находятся критические точки: у= 0 15х2 (х21) = 0 х1= 0, х2= 1, х3 = 1. Изображаются промежутки монотонности и определяются знаки у:
+ х
1 0 1
Черт.39.
На и функция возрастает; на (1; 0) и ( 0; 1) она убывает. Точки х2 = 1, х3 = 1 являются точками экстремума: х2 = 1 точка максимумаи уmax = у(1) = 2; х3 = +1 точка минимума и уmin = у(1) = 2. Точка х1 = 0 не является точкой экстремума, так как у не меняет знак при переходе через 0.
5). Вычисляется производная 2-го порядка: у= (15х4 ) 15х2) = 60х3 30х. Находятся стационарные точки: у= 0 60х3 30х = 0
х1 = 0, х4 , х5 = 0,5. Изображаются промежутки вогнутости и определяются знаки у:
0,5 0 0,5
Черт.40.
Получено у< 0 на промежутках (;0,5), (0; 0,5), поэтому здесь график вогнут вниз. И у> 0 на промежутках (0,5; 0), (0,5; ), поэтому здесь график вогнут вниз. Вычисляются значения функции в стационарных точках: у(0)0,у(0,5) 1,24, у(0,5)1,24. Точки перегиба имеют координаты: О(0; 0), С(0,5; 1,24), D(0,5; 1,24).
6). Уравнение оси ОХ имеет вид у = 0, поэтому координаты точек пересечения с осью ОХ находятся из системы:
у
ух5х3.
Ясно, чтох5х3 . Отсюда: х1 х6 1,29х7 1,29
Получены точки пересечения с ОХ: О(0;0), А(1,29; 0), В(1,29; 0).
Уравнение оси ОY имеет вид х = 0, поэтому координаты точек пересечения с осью ОY находятся из системы:
x
у = 3х5 5х3
Отсюда получается, что О(0; 0) точка пересечения сОY
x
y -1,29
0 -1
2 -0,7 -1,24 0 0,7
1,24 -2 1,29
0 -1,4
-2,4 1,4
2,4
y =3x5 5x3 xx
2
D
1 Х
A -1 O B
C
-2
Р2
Черт.41.
7). Координаты найденных выше точек записываются в виде таблицы, и эти точки изображаюся в декартовой системе координат. Для уточнения графика находятся вспомогательные точки: Р1(1,4; 2,4), Р2(1,4; 2,4), теперь эти точки используются вместо указанных пункте 1 точек Р1, Р2. По найденным точкам строится график (см. чертеж 41).