- •Глава 7. Интегральное исчисление
- •§1. Неопределенный интеграл
- •Свойства интегралов
- •§2. Методы интегрирования
- •4. Интегрирование рациональных функции. Следующие функции называются простейшими рациональными дробями:
- •§3. Определенный интеграл
- •С войства определенного интеграла
- •§4. Применение определенных интегралов
- •§5. Несобственные интегралы
- •Упражнения
Глава 7. Интегральное исчисление
§1. Неопределенный интеграл
Интегрирование – это операция, при которой по производной некоторой функции восстанавливается сама функция, т. е. это - операция, противоположная дифференцированию. Для более строгого определения этой операции вводятся следующие понятия.
Определение 1. Первообразной функции f(x) на некотором интервале (a; b) называется функция F(x), производная которой равна f(x) на этом интервале, т. е. для любого х(a; b) выполняется равенство:
F (x) = f(x). (48)
Пример 1. а). Пусть f(x) = 3х2, тогда первообразная равна F(x) = х3 .
Проверка: F¢ (x) = (х3)′ = 3х2 = f(x) - верно.
б). Пусть f(x) = е2х+3, тогда первообразная равна F(x) = 0,5е2х+3 .
Проверка: F¢ (x) = (0,5е2х+3)′ = 0,5∙2е2х+3 = е2х+3 = f(x), верно.
Следующие два свойства дают основной способ описания всех первообразных данной функции.
Свойство 1. Если F(x) – первообразная функции f(x) на (a; b), то для любого числа с функция F(x) + с так же является первообразной функции f(x) на (a; b).
Доказательство. Пусть F(x) – первообразная функции f(x) на (a; b), тогда верно равенство (48), и для любого числа с выполняются равенства: (F(x) + с) = F(x) + с = f(x). Таким образом, функция F(x) + с удовлетворяет (48), поэтому она является первообразной f(x). Свойство доказано.
Свойство 2. Если F1(x) и F2(x) – первообразные одной и той же функции, то эти функции отличаются друг от друга на постоянное число: F1(x) – F2(x) с.
Доказательство. Пусть F1(x) и F2(x) – первообразные функции f(x), тогда каждая из них удовлетворяет равенству (48), и выполняется тождество: (F1(x) F2(x))= f(x) f(x) 0. Следовательно, по теореме 3 из §5 главы 5, разность F1(x) F2(x) есть постоянное число, что и требовалось доказать.
Согласно этим свойствам, все первообразные функции f(x) имеют вид F(x) + с, где F(x) – некоторая первообразная этой f(x) и с – произвольное число. Поэтому формула F(x) + с описывает множество всех первообразных функции f(x).
Определение 2. Неопределенным интегралом функции f(x) называется множество всех первообразных этой функции.
Обозначение: f(x)dx. В этой записи первый символ называется интегралом, f(x) – подынтегральная функция, х – переменная интегрирования, dx – дифференциал х.
В силу свойств первообразных, имеет место следующее равенство:
f(x) dx = F(x) + c, (49)
где F(x) – некоторая первообразная функции f(x) и c – символ константы.
Если функция f(x) имеет первообразную на интервале (a; b), то она называется интегрируемой на (a; b).
В следующей таблице указаны основные формулы для нахождения интегралов от элементарных функций. Эти формулы называются табличными интегралами.
Таблица основных интегралов
1 . xn dx = , если n 1; в частности:
2. dx = ln|x| + c ; в частности:
3. в частности:
6 .
7.
8.
9 .
Для проверки этих формул нужно вычислить производную от правой части и убедиться, что в результате получается подынтегральная функция.
Пример 2. Доказать интеграл xn dx = , где n 1.
Доказательство. Вычисляется производная от правой части: = + 0 = xn. Получилась подынтегральная функция, интеграл доказан.